接上一道定积分的问题

Question

各位老师 不好意思 上一道题不小心弄成投票了

重新发一次，我还是想听各位老师的点播拨。

关于定积分一直有一个疑惑 比如积分限是[0,π] 有时候首先算出他的不定积分以后可以直接代入上下限来求定积分。 但是有时候就不能直接代入上下限，上下限要拆成[0,π/2]和[π/2，π]来算，即算 2*∫f(x)dx 此时积分限为[0,π/2]。

那么请教老师们，怎么来分别要不要拆开积分限呢？ 什么情况下要拆呢？

附上一道例题，这道例题需不需要拆开上下限呢？ 不拆上下限的话小弟作出来是0.

∫t*sinwtdt w为常数 积分限为[0,2π/w]
答案是 -2π/(w^2)
问题补充：2楼的老师能不能再讲得通俗一点

再比如 ∫t*sintdt 积分限为[-2/π,2/π]
这样的题要拆积分限吗？

照几位老师的说法，按中间值拆开上下限的话来算出的答案就肯定是对的？

Answer 1

分开算是考虑到被积函数的周期性的性质，而使得在计算时简单，甚至有些题必须使用这种分开计算才能计算出来。
还有一种就是被积函数带绝对值，需要分区间讨论
无其他情况。
在能直接求的原函数的情况下，分不分开均无所为。
∫t*sinwtdt=-t/w*coswt+1/w*sinwt

w为常数 积分限为[0,2π/w]
代入得
-2π/w^2-0
=-2π/w^2
你的计算有误。
∫t*sintdt 积分限为[-2/π,2/π] 拆不拆开无所谓。
因为积分公式里有：
对整段的积分等于对各分段积分之和。

Answer 2

这样给你说吧
一般能直接积出来的就不用拆
如果积不出来，就需要拆开，而且一般来说
如果只能拆开，那么一般就只有考虑1：周期性的利用，2：奇偶性的利用
利用性质求解

Answer 3

∫t*sinwtdt ??
这个还用拆么 直接用分部积分不就可以了么

Answer 4

不用拆，直接用分部积分求就可以啊 ！