线性代数问题：设A,B均是n阶正交阵，且|A|≠|B|,求|A+B|.

Question

设A,B均是n阶正交阵，且|A|≠|B|,求|A+B|.
请写出解答过程，谢谢
呃~还有一道，设A为正交阵,试证明:A的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1.

答出其中一道也行，最好两道都能答出哦~

Answer 1

若A为正交阵,则|A|=1或-1
|A+B|=0
因为 A有特征值1 B有-1 A+B有0特征值。

若A(α)=λα,A为正交阵，正交不改变模。
则 (A(α), A(α))=( λα, λα)= λ2(α, α)=(α, α)
因此λ2=1,从而λ=1或者λ=-1

Answer 2

设A为正交阵,试证明:A的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1
证明 设a是A的实特征向量x所对应的特征值,则a一定是实数,则有
Ax=ax
对上式两边转置得,x'A'=ax'(x',A'表示转置),故
x'A'Ax=a^2*x'x
A为正交阵,A'A=I,代入上式得x'x=a^2*x'x,a^2=1,a的绝对值等于1.

设A,B均是n阶正交阵且|A|≠|B|,求|A+B|.这个题是否有误,|A+B|与A,B没有明显关系,如设A=B=I(2阶单位阵,虽然取了A=B也没关系),此时|A|=|B|=1,|A+B|=4.如果B是第1行为
1/√2,1/√2,第2行为-1/√2,1/√2的正交阵,A仍是2阶单位阵,此时
|A+B|=2+√2,还可以将B换成第1行为
1/√10,3/√10,第2行为-3/√10,1/√10的正交阵,此时|A+B|=2+√10
经过大量例子尝试,没能找到它们之间的关系.

Answer 3

一、设A,B均是n阶正交阵，且|A|≠|B|，不妨设|A|=1，|B|=-1，则|A+B|=|A|*|A+B|=|A'|*|A+B|=|A'A+A'B|=|E+A'B|。|A'B|=|A'|*|B|=|A|*|B|=-1，所以正交矩阵A'B有属于特征值-1的特征向量X，A'BX=-X。于是(E+A'B)X=X-X=0，这说明E+A'B有特征值0，因此|E+A'B|=0，即|A+B|=0。二、正交矩阵A实特征向量X对应的特征值为a，AX=aX，则a是实数。由正交变换保持内积不变，有(X,X)=(AX,AX)=(aX,aX)=a^2*(X,X)，a^2=1，|a|=1。

Answer 4

2。若A(α)=λα,则 (A(α), A(α))=( λα, λα)= λ2(α,α)=

(α, α),因此λ2=1,从而λ=1或者λ=-1.

Answer 5

线性代数 挂了。。。

我直接闪。。。。。。。。