y=e^xsinx+e^xsinx=0的特解是什么

Question

如题所述

Answer 1

题中已知y=2e^-x+e^xsinx为方程的一个特解。根据常系数齐次线性微分方程特征值与解的形式的关系:

特征值有单实根λ，则方程有形如e^λx形式的解。

特征值有一对单虚根α±βi（之所以说一对，是因为虚根总是成对存在）则方程具有形如e^αxcosβx和e^αxsinβx形式的两个线性无关解。

对照特征值解的形式，显然在本题中，有一个特征值λ1=-1的实根，也有一对特征值λ2，3=1±i的虚根，特解中没有出现e^xcosx，是因为通解为三个解的线性组合，此特解形式时的e^xcosx前面的系数为0。

知道了三个特征值，特征方程也就易求了，特征方程就是关于λ的三次方程，因此采用分解成三个因式的方法求得特征方程。

对照特征值解的形式，显然在本题中，有一个特征值λ1=-1的实根，也有一对特征值λ2，3=1±i的虚根，特解中没有出现e^xcosx，是因为通解为三个解的线性组合，此特解形式时的e^xcosx前面的系数为0。

知道了三个特征值，特征方程也就易求了，特征方程就是关于λ的三次方程，因此采用分解成三个因式的方法求得特征方程。

来源及发展

微分方程研究的来源：它的研究来源极广，历史久远。牛顿和G.W.莱布尼茨创造微分和积分运算时，指出了它们的互逆性，事实上这是解决了最简单的微分方程y'=f(x)的求解问题。当人们用微积分学去研究几何学、力学、物理学所提出的问题时，微分方程就大量地涌现出来。

牛顿本人已经解决了二体问题：在太阳引力作用下，一个单一的行星的运动。他把两个物体都理想化为质点，得到3个未知函数的3个二阶方程组，经简单计算证明，可化为平面问题，即两个未知函数的两个二阶微分方程组。用叫做“首次积分”的办法，完全解决了它的求解问题。

以上内容参考—— 百度百科学微分方程