考研数学二题

Question

求解答。

Answer 1

求微分方程 f ''(x)+f(x)=2e^x 满足 f(0)=0，f'(0)=2的特解

解：齐次方程 f''(x)+f(x)=0的特征方程 r²+1=0的根 r₁=i，r₂=-i；

故齐次方程的通解为：y=C₁cosx+C₂sinx;

设其特解为：y*=ae^x；   则y*'=ae^x;    y*''=ae^x;

代入原方程，并消去e^x得：2a=2，∴a=1；故y*=e^x；

∴原方程的通解为：y=C₁cosx+C₂sinx+e^x;

故y(0)=C₁+1=0; ∴C₁=-1； y'=-C₁sinx+C₂cosx+e^x，y'(0)=C₂+1=2，故C₂=1；

∴满足初始条件的特解：y=-cosx+sinx+e^x;

Answer 2

如图

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