设函数f（x）连续，则在下列变上限定积分定义的函数中，必为偶函数的（ ）A．∫x0t[f（t）+f（-t）]dt

Question

设函数f（x）连续，则在下列变上限定积分定义的函数中，必为偶函数的（　　）A．∫x0t[f（t）+f（-t）]dtB．∫x0t[f（t）-f（-t）]dtC．∫x0f（t2）dtD．∫x0f2（t）dt

Answer 1

由于：F(x)＝

∫

x0

f(t)dt与f（x）的奇偶性关系为：
当f（x）为偶函数时，F(x)＝

∫

x0

f(t)dt为奇函数；
当f（x）为奇函数时，F(x)＝

∫

x0

f(t)dt为偶函数．
因此：要判断F(x)＝

∫

x0

f(t)dt的奇偶性只需要判断被积函数f（x）的奇偶性．
对于选项A：被积函数为：
g（x）=x[f（x）+f（-x）]；
g（-x）=-x[f（-x）+f（-（-x））]=-x[f（x）+f（-x）]=-g（x）为奇函数，
故

∫

x0

t[f（t）+f（-t）]dt为偶函数，A选项对．
对于选项B：被积函数为：
g（x）=x[f（x）-f（-x）]；
g（-x）=-x[f（-x）-f（-（-x））]=-x[f（-x）-f（x）]=x[f（x）-f（-x）]=g（x）偶函数
故

∫

x0

t[f（t）+f（-t）]dt为奇函数，B选项不对．
对于选项C：被积函数为：
g（x）=f（x²）
g（-x）=f（（-x）²）=f（x²）=g（x）偶函数
故

∫

x0

t[f（t）+f（-t）]dt为奇函数，C选项不对．
对于选项D：被积函数为：
g（x）=f²（x）
g（-x）=f²（-x）
因此g（x）不一定具有奇偶性，
故

∫

x0

t[f（t）+f（-t）]dt无法判断是否为偶函数，D选项不对．
故本题选：D．