设f（x）是连续函数，F（x）是f（x）的原函数，则（ ）A．当f（x）是奇函数时，F（x）必是偶函数B．当

Question

如题所述

Answer 1

以上选项可以举一些反例来推翻结论
b:f(x)=3x^2是偶函数,f(x)=x^3+2不是奇函数
c:f(x)=1是周期函数，f(x)=x不是周期函数
d:f(x)=2x是单调增函数,f(x)=x^2不是单调增函数(而是先减后增)
故只能选a

Answer 2

（1）选项B，设f（x）=x2，它是偶函数，f（x）的原函数是F（x）=
1
3
x3+C（C为任意常数），但F（x）并不是奇函数（除了C=0外），所以排除B．
（2）选项C，设f（x）=sin2x，但它的原函数F（x）=
1
2
x?
1
4
sin2x+C（C为任意常数）不是周期函数，所以排除C．
（3）选项D，设f（x）=x，它是R上的增函数，但它的原函数F（x）=
1
2
x2+C（C为任意常数），不是R上的增函数，所以排除D．
（4）选项A，由题意设F(x)
＝∫
x
0
f(t)dt+C（C为任意常数），则F(?x)
＝∫
?x
0
f(t)dt+C
令u＝?t
.
-
∫
x
0
f(?u)du+C，
∴如果f（x）是奇函数，则有f（-u）=-f（u）
∴F（-x）=
∫
x
0
f(u)du+C＝F(x)，选项A正确．
故选：A．