设函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），若x=-1为函数y=f（x）ex的一个极值点，则下列图象不可能为y=f（x

Question

设函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），若x=-1为函数y=f（x）ex的一个极值点，则下列图象不可能为y=f（x）的图象是（　　）A．B．C．D．

Answer 1

由y=f（x）e^x=e^x（ax²+bx+c）?y'=f'（x）e^x+e^xf（x）=e^x[ax²+（b+2a）x+b+c]，
由x=-1为函数f（x）e^x的一个极值点可得，-1是方程ax²+（b+2a）x+b+c=0的一个根，
所以有a-（b+2a）+b+c=0?c=a．
法一：所以函数f（x）=ax²+bx+a，对称轴为x=-

b

2a

，且f（-1）=2a-b，f（0）=a．
对于A，由图得a＞0，f（0）＞0，f（-1）=0符合要求，
对于B，由图得a＜0，f（0）＜0，f（-1）=0不矛盾，
对于C，由图得a＜0，f（0）＜0，x=-

b

2a

＞0?b＞0?f（-1）＜0不矛盾，
对于D，由图得a＞0，f（0）＞0，x=-

b

2a

＜-1?b＞2a?f（-1）＜0于原图中f（-1）＞0矛盾，D不对．
法二：所以函数f（x）=ax²+bx+a，由此得函数相应方程的两根之积为1，对照四个选项发现，D不成立
故选 D．