可逆矩阵有什么性质

Question

如题所述

Answer 1

矩阵A为n阶方阵，若存在n阶矩阵B，使得矩阵A、B的乘积为单位阵，则称A为可逆阵，B为A的逆矩阵。若方阵的逆阵存在，则称为可逆矩阵或非奇异矩阵，且其逆矩阵唯一。
设
是数域，
，若存在
，使得
，
为单位阵，则称
为可逆阵，
为
的逆矩阵，记为
。若方阵
的逆阵存在，则称
为可逆矩阵或非奇异矩阵。
性质
（1）若
为可逆矩阵，则
的逆矩阵是唯一的。
（2）设
、
是数域
上的
阶矩阵，
。
①若
可逆，则
和
也可逆，且
，
；
②若
可逆，则
可逆
，且
；
③
、
均可逆
。[1]
常用方法
（1）判断或证明
可逆的常用方法：
①证明
；
②找一个同阶矩阵
，验证
；
③证明
的行向量（或列向量）线性无关。
（2）求
的方法：
①公式法：
，其中
为矩阵
的伴随矩阵。
②初等变换法：对
作初等变换，将
化为单位阵
，单位矩阵
就化为
。