怎么求域的扩张次数

Question

如题所述

Answer 1

可以先证明:Q(√2+√3)=Q(√2,√3)、求出扩张次数。

容易验证 Q(2^{1/3}+4^{1/3})=Q(2^{1/3})，所以是Q的三次扩张。

只一个根在F中，则三次多项式f（x）=（x-c）（x^2+ax+b），其中x^2+ax+b在F中不可约，作K=F［x］/（x^2+ax+b），令α=x+（x^2+ax+b），则K=F（α）为（x^2+ax+b）的分裂域，次数为2，由于c属于F，则K为三次多项式f（x）的分裂域，次数为2。

扩张次数

（degreeofextension）决定扩域结构的一个数。设E是F的扩域，E作为F上向量空间的维数称为此域扩张的次数，记为［E：F］。当［E：F］<∞时，称此域扩张为有限扩张，当［E：F}=∞时，称此域扩张为无限扩张，而扩域E分别称为有限扩域与无限扩域。F的任何有限扩域必为代数扩域。