高中数学函数单调性问题

Question

已知f(x)对任意x、y（属于R）满足f(x)+f(y)=f(x+y) 且当x>0时，f(x)<0，f(1)=负的三分之二 求证f(-x)=-f(x) 求证f(x)是R上的单调减函数 求f(x)在[－3，3]上的最大值和最小值

Answer 1

1.f(0)+f(0)=f(0+0)推出f(0)=0 故f(x)+f(-x)=f(0)=0 ∴f(-x)=-f(x)
2.设x1>x2∈R,f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2) 由1的结论，f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)<0
故当x1>x2时,f(x1)<f(x2),得证
3.f(2)=f(1)+f(1)=-4/3，f(3)=f(1)+f(2)=-2,∴f(-3)=2
由2结论，f(x)在[-3,3]上单调递减，∴最大值f(-3)=2,最小值f(3)=-2

自己打的字，一定要采纳啊！！！希望对你有所帮助。。。

Answer 2

哥懒得做

Answer 3

解：（1）因为f(x)+f(y)=f(x+y)，所以f(x)+f(-x)=f(0),
f(1)+f(0)=f(1),所以 f(0)=0，所以f(-x)=-f(x) ;
(2)a，b两个数，a>b>0,f(-b)=-f(b)
f(a)-f(b)=f(a)+f(-b)=f(a-b),
a-b>0,f(a-b)<0,所以x>0时,f(x)单调递减，
又因为f(x)是R上的奇函数，所以f(x) 在R上单调递减；
（3）f(x) 在R上单调递减，所以f(x)在[－3，3]上f(3)最小，f(-3)最大，
f(2)=f(1)+f(1)=-(4/3),f(3)=f(1)+f(2)=-2，
f(-3)=-f(3)=2