驻点与拐点区别

Question

高等数学中的

Answer 1

函数的极值点、驻点和拐点这些概念很多同学和老师都容易混淆。如何正确认识极值点、驻点、拐点其主要依据是定义及相关理解，只有理解透定义域定理，进而找到他们的本质差别，才不至于混为一谈。

驻点、极值点、拐点是微积分中不能绕过的知识点，要想完全掌握必须抓住核心定义，而不是去死记硬背一些推论。理解本质才能应对千变万化的题目。

1.核心概念

驻点：是函数的一阶导数为0地点，另外驻点也称为稳定点，临界点

例如：y=x3，则f’(x)=3x2，令f’(x)=0，解得x=0，则x=0是函数y=x3地驻点

极值点：是函数的单调性发生变化的点，或是函数的局部极大值或极小值点(或者说当函数存在导数时，函数的极值点是其导函数的变号零点)

例如：y=x2，如图在x=0处，函数的单调性发生了变化，或者说x=0附近的区域，f(0)取得极小值，这两个均说明x=0是函数y=x2的极值点

备注：我们在求函数的极值时，通常令f(x)的一阶导数为0，但一阶导数为0地点不一定是极值点，例如y=x3，则f’(x)=3x2，令f’(x)=0，解得x=0，这时x=0不是函数的极值点，因为该函数在x=0处的单调性没有发生变化。

拐点：是函数二阶导数为0且三阶导数不为0地点

例如：

我们以f（x）=x3为例来看看什么是拐点，如图：在（0,0）处函数的凹凸性发生了变化，我们知道二阶导为正，原函数是凸函数，二阶导为负，原函数的凹函数。该函数是先凹后凸，因此（0,0）是函数的拐点。

备注：在拐点处，函数的凹凸性发生了改变，当二阶导数大于0，说明函数图像下凹；如果二阶导数小于0，说明函数图象上凸。

2.区别和联系

① 零点，驻点，极值点指的都是函数y=f(x)的一个横坐标x0，而拐点指的是函数y=f(x)图像上的一个点(x0，f(x0))

② 驻点和极值点：可导函数f(x)的极值点必定是它的驻点，但是反过来，函数的驻点却不一定是极值点。例如上面举例的y=x3，x=0是函数f(x)的驻点，但它不是极值点。此外，函数在它的一阶导数不存在时，也可能取得极值，例如y=|x|，在x=0处导数不存在，但极值点是x=0，具体可见下面的图像。

③ 驻点和极值点与函数的一阶导数有关，拐点与函数的二阶导数和三阶导数有关。

3.内容归纳

Answer 2

驻点仅仅就是指一阶导数等于0的点。
拐点是指凹凸性改变的点。

具体的概念和一些知识点内容如下：

（图片点开是可以看清楚的）

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Answer 3

在驻点处的单调性可能改变，而在拐点处凹凸性肯定改变。 拐点：二阶导数为零，且三阶导不为零； 驻点：一阶导数为零。 二阶导数为零时，一阶不一定为零；一阶导数为零时，二阶不一定为零。
驻点和极值点的区别
可导函数f(x)的极值点必定是它的驻点，可导函数f(x)的最值点未必是它的驻点，函数的驻点也不一定是极值点。 函数在它的导数不存在时，也可能取得极值，例如y=|x|

参考资料：http://baike.baidu.com/view/705727.htm#2

Answer 4

拐点是函数的凹凸性发生改变的点。
驻点是使得函数的导数为0的点，是单调性“可能”发生变化的点。
可导函数的极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点，例如y=x^3,x=0是驻点，但不是极值点。

Answer 5

驻点与拐点的区别在于：驻点只是指一阶导数为零的点，而拐点是指二阶导数为零的点。换句话说，驻点是一个局部极小值点，而拐点是一个局部最大值点。此外，拐点在数学上还用来指改变曲线向上或向下方向的点，即凸曲线的凹弧与凸曲线的凸弧的分界点。因此，驻点和拐点都是函数图象上的重要特征点，对于理解函数的变化趋势和特征具有重要意义。