解：(1)题，∑(1+3^n)/q^3=∑(1/q)^n+∑(3/q)^n，而丨q丨>3，∴0<1/丨q丨<1、0<3/丨q丨<1，根据等比数列的性质，∑(1+3^n)/q^3收敛。其和为1/(1-3/q)+1/(1-1/q)=q/(q-3)+q/(q-1)。
(2)题，∵(3n+1)(3n+4)>3n(3n)=9n^2，∴1/[(3n+1)(3n+4)<(1/9)/n^2，而p-级数，p>1时，收敛。∴∑1/[(3n+1)(3n+4)收敛。其和=(1/3)∑[1/(3n+1)-1/(3n+4)]=(1/3)lim(n→∞)[1/4-1/(3n+4)]=1/12。
(3)题，∵∑[√(n+2)-2√(n+1)+√n]=∑{[√(n+2)-√(n+1)]-[√(n+1)-√n]}，∴原式=lim(n→∞)[1-√2+√(n+2)-√(n+1)]=lim(n→∞)[1-√2+1/[√(n+2)+√(n+1)]=1-√2。收敛。
(4)题，∵∑ln[n/(1+n)]=∑[lnn-ln(n+1)]=ln1-ln(n+1)，∴原式=-lim(n→∞)ln(n+1)→-∞，发散。供参考。
(2)题，∵(3n+1)(3n+4)>3n(3n)=9n^2，∴1/[(3n+1)(3n+4)<(1/9)/n^2，而p-级数，p>1时，收敛。∴∑1/[(3n+1)(3n+4)收敛。其和=(1/3)∑[1/(3n+1)-1/(3n+4)]=(1/3)lim(n→∞)[1/4-1/(3n+4)]=1/12。
(3)题，∵∑[√(n+2)-2√(n+1)+√n]=∑{[√(n+2)-√(n+1)]-[√(n+1)-√n]}，∴原式=lim(n→∞)[1-√2+√(n+2)-√(n+1)]=lim(n→∞)[1-√2+1/[√(n+2)+√(n+1)]=1-√2。收敛。
(4)题，∵∑ln[n/(1+n)]=∑[lnn-ln(n+1)]=ln1-ln(n+1)，∴原式=-lim(n→∞)ln(n+1)→-∞，发散。供参考。
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