己知a十b十c二1,a/b c加b/c十a加c/a十b二3，则1/b十c加1/c+a加1/a十b

Question

如题所述

Answer 1

证明：因为a
+
b
+
c
=
1，把1
=
a
+
b
+
c代入左边可得1/a
+
1/b
+
1/c
=
(a
+
b
+
c)/a
+
(a
+
b
+
c)/b
+
(a
+
b
+
c)/c
=
1
+
b/a
+
c/a
+
a/b
+
1
+
c/b
+
a/c
+
b/c
+
1
=
3
+
(b/a
+
a/b)
+
(c/a
+
a/c)
+
(c/b
+
b/c)
≥
3
+
2√[(b/a)*(a/b)]
+
2√[(c/a)*(a/c)]
+
2√[(c/b)*(b/c)]
=
9，（当且仅当b/a
=
a/b，而且c/a
=
a/c，而且c/b
=
b/c时取等号，即b
=
a
=
c时取等号），所以1/a
+
1/b
+
1/c
≥
9，得证。

Answer 2

answer：
6
process:
将已知条件中的等式：a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)=3
的两边同时加3
得：a/(b+c)+1+b/(c+a)+1+c/(a+b)+1=6
因为
a+b+c=1
所以
a/(b+c)+1=(a+b+c)/(b+c)
=1/(b+c)
同理：b/(c+a)+1=1/(c+a);
c/(a+b)+1=1/(a+b)
所以：
1/(b+c)
+1/(c+a)+1/(a+b)=6