第1个回答 2012-08-19
解:(Ⅰ)f(x)=0,得x=-a,所以函数f(x)的零点为-a.(2分)
(Ⅱ)函数f(x)在区域(-∞,0)上有意义,f′(x)=x2+ax-a x2 ex,(5分)
令f′(x)=0,得x1=-a- a2+4a 2 ,x2=-a+ a2+4a 2 ,
因为a>0,所以x1<0,x2>0.(7分)
当x在定义域上变化时,f'(x)的变化情况如下:
所以在区间(-∞,-a- a2+4a 2 )上f(x)是增函数,(8分)
在区间(-a- a2+4a 2 ,0)上f(x)是减函数.(9分)
(Ⅲ)在区间(-∞,-a 2 ]上f(x)存在最小值f(-a 2 ).(10分)
证明:由(Ⅰ)知-a是函数f(x)的零点,
因为-a-x1=-a--a- a2+4a 2 =-a+ a2+4a 2 >0,
所以x1<-a<0,(11分)
由f(x)=(1+a x )ex知,当x<-a时,f(x)>0,(12分)
又函数在(x1,0)上是减函数,且x1<-a<-a 2 <0,
所以函数在区间(-x1,-a 2 ]上的最小值为f(-a 2 ),且f(-a 2 )<0,(13分)
所以函数在区间(-∞,-a 2 ]上的最小值为f(-a 2 ),
计算得f(-a 2 )=-e-a 2 .(14分)
第2个回答 2011-04-03
(1)令f(x)=0(x不=0) 因为a>0 e^x>0 当1+a/x=0 x=-a
(2) f(x)'=e^x-ae^x/x^2(x<0)
=(x^2e^x-ae^x)/x^2
令g(x)=x^2e^x-ae^x
x^2=a x=-a (负无穷,-a)单调增(-a,0)单调减
(3)有最小值f(-a/2)=(1+a/(-a/2))e^(-a/2)
=-e^(-a/2)