已知函数f(x)=(x-2)e的x次方＋a(x-1)²有两个零点 ①求a的取值范围

Question

已知函数f(x)=(x-2)e的x次方＋a(x-1)²有两个零点
①求a的取值范围②若x1，x2是两个零点，求证x1＋x2＜2

求详细点 ，多谢

Answer 1

首先，把这一个函数拆成两个函数

f(x)=(x-2)e^x-【-a(x-1)^2】

g(x)=(x-2)e^x

h(x)=-a(x-1)^2

然后分别求这两个函数的极值，发现处于相同的位置

只要让h(x)=-a(x-1)^2函数开口向下，那么一定有两个交点。

如果a<0，那么将会只有一个，或者没有交点,

a不能为0,否则没有交点

所以a>0

如果不能用画图来解，步骤如下：

追问

第二问答案不全吗

追答

需证明:x20,由①可知2个零点x10
∴x-20,-(x-2)e^x>0）
又∵x1x1，
∴g(x2)=g(x1)>g(2-x1)
∴2-x1>x2
即x1+x2<2

追问

谢谢

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Answer 2

a＞0时虽然函数是先减后增且最小值小于零 但并不能说明函数有两个零点 需证两边存在函数值大于零

Answer 3

这样来数追答

先给点思路

再增加一点点

再给点