为什么求了一阶导数等于0就能判断出这个方程至少有一个实根？

Question

为什么求了一阶导数等于0就能判断出这个方程至少有一个实根？为什么没有人来解答😥我已经知道了！导数为零 则f(ξ)=0 半天没反应过来

Answer 1

因为罗尔定理得f'（ξ）=0，f'（x）=a1cosx+a2cos3x+……+ancos（2n-1）x ，指该f'（x）在ξ点有解，当然在（0，π/2）之间也有可能有其他解，所以至少有一个解。

假设一元函数 y=f(x )在 x0点的附近(x0-a ，x0 +a)内有定义，当自变量的增量Δx= x-x0→0时函数增量 Δy=f(x)-f(x)与自变量增量之比的极限存在且有限，就说函数f在x0点可导，称之为f在x0点的导数(或变化率)，记作f′(x0)，即f′(x0)=Δy/Δx (Δx→0)，若极限为无穷大，称之为无穷大导数。

性质分析

一种线性描述函数在一点附近变化的方式。微分和导数是两个不同的概念。但是，对一元函数来说，可微与可导是完全等价的。

可微的函数，其微分等于导数乘以自变量的微分dx，换句话说，函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。函数y=f(x)的微分又可记作dy=f'(x)dx。

Answer 2

当一个函数的一阶导数等于零时，这意味着函数在该点上达到了极值（最大值或最小值）。根据拉格朗日中值定理（Lagrange's Mean Value Theorem），如果一个函数在某个区间内是连续的并且在这个区间内可导，那么在这个区间内的某个点，函数的导数等于这个区间两个端点的斜率。
因此，如果一个函数在某个点的一阶导数等于零，那么这个点可能是函数的极值点。当函数是连续且导数连续时，根据这个性质，我们可以得出结论：如果一个函数在某个区间内的一阶导数等于零，并且在该区间内满足连续性和导数连续性的条件，那么该函数在该区间内至少存在一个实根。
需要注意的是，这个结论是建立在一些假设和条件下的，包括函数的连续性和导数的连续性。此外，并不是所有一阶导数等于零的函数都必然具有实根，还需要考虑其他因素，如函数的定义域、曲线的形状等。因此，在具体问题中，我们需要结合其他方法和条件来综合判断一个方程是否有实根。

Answer 3

这个使用了一个迂回的策略。无法直接判断原式g(x)，就寻找一个g(x)的原函数F(X)，也就相当于求了个g(x)的不定积分得到F(X)，这个原函数F(X)的导数刚好就等于g(x)，即F(X)' = g(x)，所以现在就直接判断这个F(X)导数是否可以为0，
若F(X)导数为0，不就说明g(x)同样也可以为0，g(x)=0 成立，则不就说明存在实根。
而判断F(X)导数为0，直接求可以，当然也可以通过罗尔定理，而此题刚好就是直接使用罗尔定理就可以直接判断F(X)导数为0。

Answer 4

因为罗尔定理得f'（ξ）=0，f'（x）=a1cosx+a2cos3x+……+ancos（2n-1）x ，指该f'（x）在ξ点有解，当然在（0，π/2）之间也有可能有其他解，所以至少有一个解。

假设一元函数 y=f(x )在 x0点的附近(x0-a ，x0 +a)内有定义，当自变量的增量Δx= x-x00时函数增量 Δy=f(x)-f(x)与自变量增量之比的极限存在且有限，就说函数f在x0点可导，称之为f在x0点的导数(或变化率)，记作f′(x0)，即f′(x0)=Δy/Δx (Δx0)，若极限为无穷大，称之为无穷大导数。

性质分析

一种线性描述函数在一点附近变化的方式。微分和导数是两个不同的概念。但是，对一元函数来说，可微与可导是完全等价的。

可微的函数，其微分等于导数乘以自变量的微分dx，换句话说，函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。函数y=f(x)的微分又可记作dy=f'(x)dx。

Answer 5

罗尔定理得f'（ξ）=0，f'（x）=a1cosx+a2cos3x+……+ancos（2n-1）x ，指该f'（x）在ξ点有解，当然在（0，π/2）之间也有可能有其他解，所以至少有一个解。