f(x)=x^2 ㏑(1+x)在x=0处的n阶导数

Question

如题所述

Answer 1

方法1：
根据： (UV)的n阶导数 = U'(n) V + U'(n-1) V' + C(n,1) U'(n-2) V'' +C(n,2) ........ +U V'(n)
其中 x² = x² Ln(1 + x) '(n) = (- 1)^)(n-1) （n-1)! / (1 + x)^n
x² ’ = 2x Ln(1 + x) ' (n-1) = (- 1)^(n-2) (n-2)! / (1 + x)^(n-1)
x² '' = 2 Ln(1 + x) ' (n-2) = (- 1)^(n-3) *(n-3)! / (1 + x)^(n-2) --其实只要计算这个
就可以了， 因为 x = 0 时， x² ’ = 2x ＝0
x² ''' = 0 Ln(1 + x) ' (n-3)= .....
fn(0) = n(n-1)/2 * 2 * (- 1)^(n-3) (n-3)! / (1 + x)^(n-2) = (- 1)^(n-3) * n(n-1)(n-3)!
= (- 1)^(n-1) * n! / (n - 2)

Answer 2

这题有点技巧，略解供参考

Answer 3

先用n阶导数的公式，形式化的展开。
你会发现很多项都是0.只有一项不是0.
计算那一项可以得到结果。
详细见参考资料！

参考资料：http://www.duodaa.com/view.aspx?id=405