线性代数第五章的课后习题： 设a=(a1,a2,...,an)T,a1≠0，A=aaT,证明λ=0是A的n-1重特征值

Question

设a=(a1,a2,...,an)T,a1≠0，A=aaT,证明λ=0是A的n-1重特征值
答案书上突然冒出一句“显然R(A)=1”,让我非常困惑,求解！
最好有详细的过程

Answer 1

R(A) = R(aaT) <= R(a) (这是性质) <=1 (只有1列)
而a1≠0, 所以可知A不是0矩阵, 所以 R(A)>=1
所以有 R(A) = 1.

这样可以吗?

Answer 2

首先用矩阵的秩的性质“矩阵乘积的秩小于等于每一部分的秩”，所以R(A)≤R(a)＝1。其次，A的一个元素是a11＝a1*a1≠0，即A至少有一个非零行，所以R(A)≥1。所以R(A)＝1