线性代数题设向量α=(a1,a2,a3) β=(b1,b2,b3) α^Tβ=0 A=αβ^T

Question

设向量α=(a1,a2,a3) β=(b1,b2,b3) a1!=0 b1!=0 α^Tβ=0 A=αβ^T
(1)求A^2
(2)矩阵A的特征值和特征向量

求您讲的细一点 最好一步步来 学的不太好

Answer 1

1) A^2 = ab^T ab^T
因为a^Tb=a1b1+a2b2+a3b3 = b^Ta =0
所以A^2=a 0 b^T
所以A^2为0向量
2）A
a1b1 a1b2 a1b3
a2b1 a2b2 a2b3
a3b1 a3b2 a3b3
|A-λE|=0
直接求行列式，常数项、λ一次项全都消掉；
利用a1b1+a2b2+a3b3=0 λ二次项也消掉；
最后λ^3=0，特征值全0
Ax = 0
因为A各行成比例，所以秩为1
最后特征向量表达式：x1=-b2/b1x2-b3/b1x3 （b1!=0)
求通解就得到特征向量了

Answer 2

(1)
A^2=
(α^Tβ)*
(α^Tβ)=
α^T*(β*
α^T)*β=(α^T*0*β)=0.
(参见矩阵乘法规则)
(2)
因为
A^2=0，
我们可以知道所有特征值为
lambda=0.
由(lambda
*I
-A)ev=
0，以及
A*A=0，
我们知道，
A的每一个列向量就是他的特征向量。