如何用数列极限的定义证明极限

Question

如题所述

Answer 1

如何用数列极限的定义证明极限的步骤如下：

1、确定极限式：首先需要确定要证明的极限式，例如limn→∞an=L。

2、确定ϵ：选择一个适当的正数ϵ，这个正数需要根据问题的情况来选择。一般来说，ϵ的选择需要根据L的取值和精度要求来确定。

3、确定正整数N：根据定义，存在一个正整数N，使得当n>；N时，有∣an−L∣<；ϵ。这个正整数N可以根据ϵ和L的值来计算。

4、证明不等式：为了证明极限存在，需要证明存在一个正整数N，使得当n>；N时，有∣an−L∣<；ϵ。这个不等式可以通过代数运算或不等式性质来证明。

5、结论：如果能够证明存在一个正整数N，使得当n>；N时，有∣an−L∣<；ϵ，则可以得出结论limn→∞an=L。

用数列极限定义在数学中的用途：

1、求解数列的和、差、积：利用数列极限的定义，我们可以求解数列的和、差、积等各种数学问题。例如，利用极限的加法运算法则，我们可以求解两个数列的和；利用极限的乘法运算法则，我们可以求解两个数列的积。

2、求解函数的极限：数列极限的定义可以帮助我们求解函数的极限。例如，当我们需要求解一个函数在某一点处的极限时，可以利用数列极限的定义将该函数进行放缩，从而得到该函数在这一点处的极限。

3、证明数列发散或收敛：利用数列极限的定义，我们可以证明一个数列发散或收敛。例如，对于一个数列{an}，如果存在一个正整数N，使得当n>；N时，有an>；1，则该数列发散；如果对于任意正整数N，都有limn→∞an=0，则该数列收敛。