高一函数奇偶性及最值问题：

Question

已知函数f(x)对任意x、y∈R都有 f(x+y) = f(x) + f(y) ,且 x>0 时，f(x) < 0, f(1)= -2
（1）判断函数f(x)的奇偶性
（2）当x∈[-3,3]时 函数f(x)是否有最大值？如果有请求出最值；如果没有，请说明理由

Answer 1

(1)由f(x+y)=f(x)+f(y)可知，当x=y=0时，可得f(0)=0,
当x+y=0时，有f(0)=f(x)+f(-x).故函数f(x)为奇函数。
（2）解：当0≤x1＜x2时，x2-x1＞0,由题设可知，f(x2-x1)＜0,
又由题设知，f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1).===>f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)＜0.===>f(x1)＞f(x2).故在[0,+∞)上，函数f(x)递减。
结合函数的奇偶性可知，在R上，函数f(x)递减，
故在[-3,3]上，f(x)max=f(-3),f(x)min=f(3).由f(x+y)=f(x)+f(y)及f(1)=-2,
可求得f(2)=f(1+1)=2f(1)=-4,
f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=-6,f(-3)=-f(3)=6,
故在[-3,3]上，f(x)max=f(-3)=6,f(x)min=f(3)=-6.