根据已知条件 f(x+1) = -f(3+x)，我们可以利用性质来求解 f(x) 的周期。
首先，我们尝试将函数中的 x+1 替换为 x，并将函数中的 3+x 替换为 x。根据周期函数的定义，如果 f(x) 的周期为 T，则对于任意实数 k，有 f(x+kT) = f(x) 成立。
将 x+1 替换为 x，得到 f(x) 的周期为 T 的性质：
f(x) = -f(x)
这意味着对于任意 x，f(x) 的值与 f(x+T) 的值相等但符号相反。
现在我们将 x 替换为 x+1，得到：
f(x+1) = -f(x+4)
我们可以观察到右侧的 x+4 可以通过多次替换 x+1 来表示：
x+4 = (x+1) + (x+1) + (x+1)
根据上述替换，我们可以得到：
-f(x) = -f(x+1) = -f((x+1)+(x+1)+(x+1)) = -f(3x+3)
由于 f(x) = -f(x) 成立，我们可以得到：
f(x) = f(3x+3)
综上所述，f(x) 的周期为 3。也就是说，对于任意实数 k，f(x+k*3) = f(x) 成立。
要求周期函数的周期，可以通过以下步骤进行：
1. 观察函数形式：首先，观察给定的周期函数的函数形式。常见的周期函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。根据函数的形式，可以初步猜测函数的周期。
2. 使用性质和定义：对于常见的周期函数，可以利用它们的性质和定义来求解周期。例如，正弦函数和余弦函数的周期是2π，正切函数的周期是π。
3. 利用公式或图像：如果给定的函数不是常见的周期函数，可以尝试利用函数的公式或图像来求解周期。对于周期性现象，观察波峰、波谷或其他特征点之间的间距，该间距即为周期。
4. 利用导数：某些函数的周期可以通过其导数的性质来求解。例如，对于周期为T的函数，其导数函数在一个周期内也具有相同的性质。因此，可以通过对函数的导数进行分析来找到周期。
5. 数值计算：如果以上方法都不适用，可以通过数值计算来估算函数的周期。选择一些输入值，计算对应的函数值，观察这些函数值是否呈现出重复的模式。通过这种方式可以近似估计函数的周期。
求解函数周期的例题
例题：已知函数 f(x) = sin(2πx + π/3)，求函数 f(x) 的周期。
解答：
对于三角函数来说，周期性是一种常见的特征。根据正弦函数的性质，正弦函数的周期为 2π。
在给定的函数 f(x) = sin(2πx + π/3) 中，我们可以观察到函数中的自变量 x 被 2πx+π/3 替代。这意味着我们需要找到一个常数 a，使得当 x 增加 a 时，函数的自变量 2πx+π/3 增加一个完整的周期。
考虑到 2πx 的周期为 2π，我们可以通过等式 2πa = 2π 来解得 a = 1。这样，当 x 增加 1 时，函数的自变量 2πx+π/3 增加一个完整的周期，而函数 f(x) 也会重复相同的值。
因此，函数 f(x) 的周期为 1。也就是说，对于任意实数 k，f(x+k) = f(x) 成立，其中 k 表示周期的倍数。