若a,b,c,d都是有理数，根号c，根号d都是无理数，证明当a+根号c=b+根号d，必有a=b

Question

如题所述

Answer 1

证明：假设 a≠b.
令 x = a -b,
则 x ≠0,
因为 a +√c =b +√d,
所以 √d = (a -b) +√c.
= x +√c.
所以 d = (x +√c)^2
= x^2 +2x √c +c,
所以 √c = (d -x^2 -c) / (2x), x≠0.
又因为 x,c,d 为有理数,
所以 (d -x^2 -c) / (2x) 为有理数.
与 √c 是无理数矛盾.
所以 假设不成立,
即 a=b.

Answer 2

由该等式得（ad+ab-2ac）√p=c²p-bdp
由于根号p是无理数 而等式右边是无理数
所以ad+ab-2ac=0 c²p-bdp=0
将第一个方程的2ac移到等式右侧 除掉a 两边平方
可以得到b²+d²+2bd=4c2²
将第二个方程两边除掉p 同乘以4可得到4bd=4c²
由此可推出b²+d²+2bd=4bd (b-d)²=0
b=d
再将b=d代回第一个方程 得到b=c=d

剩下的应该回来了吧....

PS:这题似乎有问题....只能把结论挪过来当题设用...

参考资料：百度一下