反比例函数几何面积问题

Question

在平面直角坐标系中，在1象限取任意点P，作一条直线过此点，交x轴y轴分别与A，B两点。当P点在直线什么位置时三角形AOB面积最小？
请证明
点P不在坐标轴上,且点固定不变，但过点直线的方向可以改变

Answer 1

1.当P点固定时,求面积最小时的直线方程
已知P(m,n),设直线方程为y=kx+b,与x轴y轴分别与A，B两点相交的坐标则为(-b/k,0),(0,b)
将P点代入得,n=mk+b,k=(n-b)/m
连接OP可知,三角形AOB的面积=三角形AOP的面积+三角形BOP的面积
两个三角形的高分别为n,m,底OA=-b/k,OB=b
所以三角形AOB的面积为:
S=1/2*(-b/k)*n+1/2*b*m
将k代入(因为kb为两个未知,去掉一个)
S=-1/2*bmn/(n-b)+bm/2
=bm/2*[1-n/(n-b)]
=bm/2*b/(n-b)
=m/2*b^2/(n-b)
令n-b=X,则OB=b=X+n
S=m/2*(X+n)^2/X
=m/2*(X^2+2Xn+n^2)/X
=m/2*(X+n^2/X+2n)
求S最小值,即求(X+n^2/X)的最小值.
根据公式a+b>=2倍根号(ab),(当且仅当a=b时,等号成立)
X+n^2/X>=2n,当X=n^2/X,即X=n时,X+n^2/X=2n
所以S最小=m/2*4n=2mn
此时OB=b=X+n=2n,
k=(n-b)/m=-n/m,OA=2m
所以直线方程为y=-nx/m+2n,点P在线段的中点

2.如果已知直线求点P则和上面方法相类似.
只是将m,n用k,p来表示
b=2n,k=-n/m,则n=b/2,m=-b/2k
即为中点

Answer 2

因为点p（m,4）为反比例函数y=8\x上一点，所以4=8/m,m=2,即p(2,4)
设点m的坐标为（0,y),因为mp平分角amb，所以角pmb=角pma.
利用a,b,p,m四点的坐标可以求出直线am,pm,bm的斜率分别为y/2,(y-4)/(-2)以及-y/6。再由两条直线间的夹角公式可知
tanamp=[y/2-(y-4)/(-2)][1+(y/2)*(y-4)/(-2)]
tanbmp=[(y-4)/(-2)-(-y/6)][1+(y-4)/(-2)*(-y/6)]
由tanamp=tanbmp
可以解得
y=2根号3
或者
－2根号3
但当y=2根号3时，点p不在角amb内，所以应舍去（事实上，此时pm是角amb补角的平分线）。所以点m的坐标为（0，－2根号3）

Answer 3

方法1：设<A0P=α，<APO＝β，则三角形AOP面积＝(tgα×tgβ/（tgα＋tgβ）)×OP×0.5，三角形BOP面积＝(tg（180-α）×tgβ/（（tg180-α）＋tgβ）)×OP×0.5；
然后三角形AOP面积＋三角形BOP面积 用微积分求导＝0时，α与β的关系就可以知道P点在直线什么位置。

方法2：设P在AB中点，然后另外一条线CD和AB交叉角度为α，可证明tg（（π/4）＋α）－1>1-tg（（π/4）-α）,得到P在AB中点时三角形AOB面积最小

Answer 4

这个三角形的面积可以无限小阿，而且是先有p点才有直线，怎么能求p点在直线的什么位置呢

Answer 5

PA