对于定义域为D的函数y=f(x)，若同时满足下列条件：①f(x)在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b] D

Question

对于定义域为D的函数y=f(x)，若同时满足下列条件：①f(x)在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b] D，使f(x)在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f(x)（x∈D）叫闭函数。（1）判断函数 ，x∈[-2，2]是否为闭函数？并说明理由；（2）判断函数y=x 2 -2kx+k+1，x∈[k，+∞)是否为闭函数？若是闭函数，求实数k的取值范围。

Answer 1

解：（1）函数 在x∈[-2，2]上单调递增，且f(-2)=-2，f(2)=2，所以是闭函数。 （2）函数 在[k，+∞)上单调递增， 所以，如果为闭函数，则有 ， 即方程 在[k，+∞)上有两个不等的实根， ，得 。