对于定义域为D的函数y=f(x),若同时满足下列条件：（1）f(x)在D内单调递...

Question

对于定义域为D的函数y=f(x),若同时满足下列条件：（1）f(x)在D内单调递增或单调递减 ②存在区间[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域为[a,b]；那么把y=f(x)（x∈D）叫闭函数. （1）求闭函数y=-x³符合条件②的区间[a,b]； （2）判断函数f(x)=¾x+1/x（x＞0）是否为闭函数?请说明理由； （3）若y=k+√(x+2)是闭函数,求实数k的取值范围. ((((((P243,10)))))

Answer 1

（3）∵函数y=k+x+2
在[-2,+∞）单调递增,若y=k+x+2
是闭函数,则存在区间[a,b]⊆[-2,+∞）,使f（x）在区间[a,b]上值域为[a,b],即a=k+a+2b=k+b+2
,∴a,b为方程x=k+x+2
的两个实数根,即方程x2-（2k+1）x+k2-2=0（x≥-2,x≥k）有两个不等的实根．令f（x）=x2-（2k+1）x+k2-2有△＞0f(-2)≥0f(k)≥02k+12＞-2
,解得-9
4
＜k≤-2．∴k的取值范围为(-9
4
,-2]．