挑战你的初中几何理解能力，任意锐角三角形都是等边三角形

Question

猜想：任意锐角三角形都是等边三角形
证明如图，在锐角三角形ABC中，作角A的平分线和对边上的垂直平分线，交与O点，引O至另两边的垂线，易得AF=AG；BF=CG，故得AB=AC，
同样的方法，可证AB=BC，因此，上述猜想成立。
请有兴趣的朋友回答，看谁能最彻底地推翻上述猜想

Answer 1

此题属于欧几里得几何经典错误,我们知道命题是错误的,可以用反证法来证明其错误
反证法:
证明:假设有BF=CG
因为角平分线上的点O到两边的距离相等,所以有FO=GO,
角BFO=角CGO=90°
所以三角形BFO≌三角形CGO,角FBO=角GCO所以OB=OC,三角形BOC为等腰三角形,
角OBC=角OCB
所以角ABC=角ACB
因为题目中给出任意的锐角三角形,角ABC不一定等于角ACB
即AB不一定等于AC,因为AF=AG,所以BF不一定等于CG,与假设不符合
所以BF=CG是不一定的,进而证明任意锐角三角形都是等边三角形这个命题是错误的追问

你的证法有一定道理，但要知道你犯了点错误，如果我这个结论成立，可以推理出，等边三角形的各个角可以不等的。举个简单的例子：
我们知道1=1，12
但我现在假设1=2，你会推理出什么哪些结论。
通过恒等变形以后，可以推理出所有的数都是相等的

追答

你的说法有一定的道理,但是12这是一个公理,是不需要证明,正如1+1=2的证明,百度里面是不允许提问的,正因为这是一个公理.

你出题的本意，就是想让大家利用初中几何知识，推理出O点不在内部，而在某一个特殊的位置

我楼下的那位说,只要用了高中知识就错了,那么我就不用,全程用初中知识!

首先我来证明一个命题:在三角形ABC中,角B的平分线交AC于D,则有BC/BA=CD/DA
证明:如左图所示,过A点作CB的平行线,交角平分线于E,所以有角CBE=角EBA=角BEA
所以AE=AB,因为三角形BCD∽三角形DAE,所以有BC/AE=CD/DA
即有BC/BA=CD/DA,得证

如右图所示,假设点B在垂直平分线的右边,有BC>BA,所以CD>DA,D点在中点F的右边
角CDB是钝角,所以点B在点D的右边
以点F为原点,以CA为x轴,建立直角坐标系,延长BD,交垂直平分线于O点.
显然点O在y轴的负半轴,在AC的下方,所以点O在三角形ABC之外.
同理,可证点B在垂直平分线的左边时,也有点O在三角形ABC之外
当点B在垂直平分线上,不存在交点O

追问

你们的推理都很正确，离正确答案只有一步的路，再想想，O点到底会出现在三角形外的什么处，当你找到这个位置，你会明白，不怪呢，明来是这么回事！

Answer 2

这是个很古老的悖论把戏，要害在于O点实际上根本不在三角形内部，导致两个垂足F和G刚好分别位于BC的两侧，即一个是在三角形的边上，另一个在边的延长线上，所以由AF=AG，BF=CG得不出AB=AC。

这个障眼法是英国数学家Walter William Rouse Ball在1892年提出的，他还是一个业余魔术师。提出这类悖论的目的是提醒初学几何的人不要依赖眼睛，眼睛会迷惑人，研究几何学必须依赖理性的逻辑推理。追问

你的推理是正确的，但还不足以推翻这个结论。想推翻，请用初中几何知识，证明O点是错误的
（我出题的本意，就是想让大家利用初中几何知识，推理出O点不在内部，而在某一个特殊的位置）

追答

你说得对，确实需要证明。

我就用你图上的字母吧。对于角ABC>角ACB的情形，我将证明O点的位置恰好使得F在AB延长线上，而G在AC内部。
而要证明这一点，只需依次证明两点：1，O点在AD的延长线上；2，角ABO是钝角，且角ACO是锐角。
1，设角平分线AD交三角形ABC的外接圆于P点，由于相等的圆周角所对的弦也相等，所以PB=PC。又因为E是BC中点，所以PE是BC的垂直平分线。
因为垂直平分线是唯一的，所以PE与OE重合。
又因为任意两条不重合直线的交点是唯一的，P是OE和AD的交点，所以O点和P点重合。
因为三角形外接圆上所有点（除了三角形的顶点）都在三角形外部，依题给条件，O点显然不能与A，B，C重合，所以O点一定在三角形ABC外部。
所以O点不能在AD内部，而只能在AD的延长线上。

2，由于O点在AD的延长线上，所以角ABO=角ABC+角OBC，角ACO=角ACB+角OCB，
由于已知角ABC>角ACB，所以角ABO>角ACO。
因为圆的内接四边形的对角之和为180度，所以角ABO+角ACO=180度，
所以角ABO大于90度，角ACO小于90度。
所以F在AB延长线上，而G在AC内部。

同样，对于角ABC<角ACB的情形，可以证明F在AB内部，而G在AC延长线上。

Answer 3

对於任意ΔABC：
作其外接圆⊙F，作其任意一边（这里以边BC为例）的中垂线GF⊥BC於G交⊙F於点O.连接OA.
∵GF⊥BC交⊙F於点O
∴弧OB=弧OC（垂径定理）
∴∠BAO=∠CAO
∴任意三角形任意一角的角平分线与这角对边的中垂线的交点必在三角形外接圆上
∴任意三角形任意一角的角平分线与这角对边的中垂线的交点必在三角形外部
∴对於猜想的证明方法中辅助线作法不成立
∴对於猜想的证明方法错误

Answer 4

角平分线与垂直平分线不会相交。所以上述不成立。

Answer 5

读过高中的人谁那么能很清楚把高中知识和初中知识分开。。
如何才只能运用初中知识解这道题。
因为中间只要任何想法是高中的，已经是错了
因为是不可以用的