设A是数域F上n阶幂等方阵，证:n维线性空间上Fn可分解为方程组AX=0及(A-E)X=0的解空间的直和

加多一个条件A2(平方)=A

推荐答案 2012-03-31

记Ax=0的解空间是W1，（E--A)x=0的解空间是W2，
对任意的x位于Fn中，有x=Ax+(E--A）x，其中Ax=y满足（E--A)y=（E--A)Ax=Ax--A^2x=0，故Ax位于W2中，类似的，(E--A)x满足A（(E--A)x)=A--A^2x=0，故（E--A)x位于W1中，故Fn=W1+W2。下面证明是直和。
若x同时满足Ax=0和（E--A）x=0，则x=x--Ax=（E--A）x=0，于是W1+W2是直和。

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