多元函数的偏导数为零,怎么证多元函数恒是常数？？？

Question

如题所述

Answer 1

利用方向导数的公式：

f(x,y)-f(a,b)=[f(x)(a,b)cos α+fy(a,b)cosβ]{(x-a)²+(y-b)²}½=0。

f(x,y)=f(a,b)。

简介

设D为一个非空的n 元有序数组的集合， f为某一确定的对应规则。若对于每一个有序数组 ( x1,x2,…,xn)∈D，通过对应规则f，都有唯一确定的实数y与之对应，则称对应规则f为定义在D上的n元函数。

记为y=f(x1,x2,…,xn) 其中 ( x1,x2,…,xn)∈D。 变量x1,x2,…,xn称为自变量，y称为因变量。

当n=1时，为一元函数，记为y=f(x),x∈D，当n=2时，为二元函数，记为z=f(x,y),(x,y)∈D。二元及以上的函数统称为多元函数。

Answer 2

一元函数导数为0，则函数为常数，这个你会证吧？
有了这个结论，多元函数的结论就是显然的了啊。

若f(x,y)对x的偏导数恒为0，则将f(x,y)看作x为变量的一元函数，则函数为常数，也就是说，函数与x无关，同理函数与y无关，因此函数为常数。追问

一元函数的结论可以用到多元函数吗，这有点问题

追答

当然，偏导数本就是将其中一个变量看作常数，然后只对另一个变量求导，教材里在全微分的充分条件证明中还用到了一元函数的拉格朗日中值定理。

f'x(x,y)=0可推出f(x,y)=g(y)，只与y有关，很多地方都用到这个来证明的。

Answer 3

利用方向导数的公式，
f(x,y)-f(a,b)=[fx(a,b)cos α+fy(a,b)cosβ]{(x-a)²+(y-b)²}½=0
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