高数里关于极限运算法则及等价无穷小的问题

Question

另外附上几个出现的符号：① ② ③ ④ ⑤ A/C B/C (A+B)/C (A'+B)/C A'

Answer 1

等价无穷小的代换求极限实质上是一种非等价代换，即它不是完全相同的两个函数的代换，虽然名字叫等价无穷小代换，但不具有真正的等价换元，所以在等价无穷小的代换中使用起来非常谨慎！
对于类似lim(A+B）/C这种类型，①的观点是正确的，一般认为在因式中（连乘）可以使用无穷小代换，但有加减法的算式中绝对不行，在（加减法）拆项后使用等价无穷小代换是禁止的，这种代换是非等价的，切忌！因为你代换后逆算，它是回不去的！
②③④是极限的运算法则，只要A,B ,A+B和A/C B/C (A+B)/C 的极限存在，式子就是成立的
⑤的代换是完全错误的，它是在加减法拆项后的代换，本身也没有可逆性！
如何防止这种非等价换元的错误呢？
1、一般情况下要严格遵守因式连乘情况下的无穷小代换条件，拆项后的代换慎之又慎，最好不要用！这方面的错误例子很多。
2、可以结合泰勒公式来使用，带有皮亚诺余项的泰勒公式的代换是完全的等价换元法，它是无条件成立的，等价无穷小代换则是有条件的换元法
比如1/（1-x)=1+x+x^2+o(x^2)，o(x^2)属于比x^2高阶的无穷小
就可以直接用后面的等式代换1/（1-x)，这是与等价无穷小完全不同的代换，对于后面的皮亚诺余项计算到哪一阶导数，要看计算的题目而定了，比较灵活
比如tgx是x的等价无穷小，实际上tgx=x+(1/3）x^3+o(x^3)，o(x^3)属于比x^3高阶的无穷小
可以看出当x趋于0,limtgx/x的极限为什么等于1，他们之间为什么是等价无穷小，tgx≈x 。追问

您的“在（加减法）拆项后使用等价无穷小代换是禁止的”这句话的意思是说：对于④中的红色部分也不能进行A→ A' 或B→B'的替换么？（此时在④终止，不进行⑤的运算）
我看有的参考书上有④中红色部分A或B的替换

追答

嗯，一般不要做类似④的无穷小代换，因为它理论上是无依据的，产生的错误很多，如果要做这样的代换，必须区分个别题目，有时候偶尔会与答案相等，但并不代表此法可行。

Answer 2

用四则运算的前提是必须两个极限要存在，你那里面的A/C,B/C的极限存在吗？如果存在的话就不用等价无穷小来算了，直接按四则运算来计算。如果不存在（只要有一个不存在），就不能拆成两个极限的和。