设定义在R上的函数f(x),满足当x>0时,f(x)>1

Question

设定义在R上的函数f(x),满足当x>0时,f(x)>1,且对任意x,y属于R,有f(x+y)=f(x)*f(y),f(1)=2
(1)求f(0)的值
(2)求证:对于任何x属于R,都有f(x)>0.
(3)解不等式f(3-x²)>4.

Answer 1

这是一道抽象函数题，求某个函数值用赋值法，证明单调性用定义法，解相关不等式用单调性.
(1)在f(x+y)=f(x)*f(y)中，令x=0，y=1得f(1)=f(0)*f(1)，即2=2f(0)，∴f(0)=1.
(2)当x>0时，f(x)>1>0；
当x=0时，f(x)=f(0)=1>0；
当x<0时，－x>0，则f(－x)>1>0，
　　　在f(x+y)=f(x)*f(y)中，令y=－x得f(0)=f(x)*f(-x)=1，即f(x)=1/f(－x)>0
　综上，对于任何x属于R,都有f(x)>0.
(3)在f(x+y)=f(x)*f(y)中，令x=y=1得f(2)=f(1)*f(1)=4，
∴不等式化为f(3-x²)>f(2)
设m<n，则n－m>0，故f(n－m)>1，又f(m)>0
∴f(n)－f(m)＝f(n－m＋m)－f(m)＝f(n－m)*f(m)－f(m)>f(m)－f(m)＝0
　即f(n)>f(m)，∴f(x)在R上是增函数，
　∴不等式化为3-x²>2，解得－1<x<1.

Answer 2

1、f(0)=1
2、已知当x>0,时,-x<0 f（x）>0,并且f(0)=f(x-x)=f(x)*f(-x)=1，所以.0<f(-x)=1/f(x)<1.得（2）结论。
3、-1<x<1

Answer 3

由题意可得.
f（x)*f(x+1)<1即f(2x+1)<1
令x.y均等于0则f（0）=f(0)*f(0)
f(0)=1或0(舍）
所以f(2x+1)<1即f(2x+1)<f（0）
2x+1<0,x<-1/2