证明:若任意x,y∈R,有f(x+y)=f(x)+f(y),且f(x)在0连续,则函数f(x)在R连续,且f(x)=ax,其中a=f(1)是常数

如题所述

推荐答案推荐于2017-09-01

显然f(0)=0.
由f(x+y)-f(x)=f(y)-f(0)以及f在0点的连续性知f在任意一点x连续。
令a=f(1)。归纳可得f(nx)=nf(x)，n为整数。
于是f(n)=an, f(1/n)=a/n，令x=1/m得f(n/m)=an/m。
从而f(x)=ax对有理数成立，由连续性知对任意x∈R成立。

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第1个回答 2012-10-07

经典的柯西方程，网上已有许多关于这方面的资料：http://wenku.baidu.com/view/3e609659312b3169a451a4b8.html追问

能不能写一下解题过程

参考资料：百度文库

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证明:若任意x,y∈R,有f(x+y)=f(x)+f(y),且f(x)在0连续,则函数f(x...答：显然f(0)=0.由f(x+y)-f(x)=f(y)-f(0)以及f在0点的连续性知f在任意一点x连续。令a=f(1)。归纳可得f(nx)=nf(x)，n为整数。于是f(n)=an, f(1/n)=a/n，令x=1/m得f(n/m)=an/m。从而f(x)=ax对有理数成立，由连续性知对任意x∈R成立。

...任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0,答：（1）证明：∵对任意的x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），，f（0）=f（0）+f（0）=2f（0），∴f（0）=0．令y=-x得，f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0，即f（-x）=-f（x），∴函数f（x）为奇函数．（2）f（x）在R上单调递减．证明：设x1＜x2，则f（x1...

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设函数f(x)对于任意x ,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y)求证:f(x)是奇...答：解：令y=0，则 f(x+0)=f(x)+f(0)即 f(x)=f(x)+f(0) , 故f(0)=0 令 y=-x，则 f(x-x)=f(x)+f(-x)f(0)=f(x)+f(-x)f(-x)=-f(x)所以f(x)是奇函数

...3)=log 2 3 且对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求证f_百度...答：解：（1）证明：f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），①令x=y=0，代入①式，得f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=0．令y=﹣x，代入①式，得f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x），又f（0）=0，则有0=f（x）+f（﹣x）．即f（﹣x）=﹣f（x）对任意x∈R成立，所以f（x...

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