如何利用闭区间套定理来证明单调有界定理

Question

如题所述

Answer 1

设S是有上界集合，不妨设b是的一个上界，取a∈S构造区间[a,b]。

定义性质P： 闭区间E，满足存在x1∈E，x1∈S且存在x2∈E，x2不属于S。

用二等分法构造区间套：

将[a,b]等分为两个子区间，则至少有一个具有性质P，不妨记该区间为[a1,b1]，则[a1,b1]含于[a,b] 。

闭区间上连续函数的三大性质：介值定理，最大值定理，一致连续性定理，都是在他们需要出现的时候才出现，而且它们的证明都是用实数连续性定理证明的。整个体系可以用下图表示出来。

扩展资料：

闭区间套定理由于具有较好的构造性，因此在实数相关的命题中有广泛的应用，故闭区间套定理不仅有重要的理论价值，而且具有很好的应用价值。

例如用来证明单调有界定理，闭区间上的连续函数的性质（有界性、最值性、零点存在性、一致连续性等），拉格朗日中值定理等微分学上常用的定理。作为介绍，在这里给出用闭区间套定理证明单调有界定理和拉格朗日中值定理的过程。单调递增有上界，或单调递减有下界的数列必定收敛。

证明：以单调递增有上界的数列为例。设数列{xn}单调递增有上界b，如果数列从某一项开始，所有的项都等于某个常数a，那么a就是{xn}的极限。如果不是这样，即{xn}严格单调，

参考资料来源：百度百科-闭区间套定理

Answer 2

设S是有上界集合，不妨设b是的一个上界，取a∈S构造区间[a,b]，
定义性质P： 闭区间E，满足存在x1∈E，x1∈S且存在x2∈E，x2不属于S。
用二等分法构造区间套：
(1) 将[a,b]等分为两个子区间，则至少有一个具有性质P，不妨记该区间为[a1,b1]，
则[a1,b1]含于[a,b] ;
(2) 将[a1,b1]等分为两个子区间，则至少有一个具有性质P，不妨记该区间为[a2,b2]，
则[a2,b2]含于[a1,b1] ;
……
(n) 将[a(n-1),b(n-1)]等分为两个子区间，则至少有一个具有性质P，不妨记该区间为[an,bn]，
则[an,bn]含于[a(n-1),b(n-1)]
……
由此方法，构造出闭区间套{[an,bn]}
其中每个bn为S的上界。
由Cantor区间套定理知存在唯一的ξ∈[an,bn]且ξ为{bn}的一个下界，为{an}的一个上界，使得
任意ε>0，存在N>0，当n>N时，有[an,bn]含于U(ξ；ε)。
故任意ε>0，存在am∈S(m>N)使得ξ-ε<am≤ξ，故ξ为S的上确界。

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Answer 3

用2分法做，比如知道界不到大于0不到1，
那么用必区间【0，1】去套，再分成【0，1/2】【1/2，1】
看数集的顶在哪个范围，以此类推得到一个闭区间套，根据闭区间定理知道极限唯一且存在追问

不太懂
能不能减少一下错别字，然后写出详细证明过程，谢谢

追答

孩子学数分不要纠结于详细证明过程，而且我已经说得很明白了，还没懂的自己思考一下。

追问

刚开始学数分，蛮多都不懂的

追答

多看吧，极限懂了后面很多都顺了，接下来只有下册的下半部分多花点心思。

Answer 4

哎，大家证的都是用区间套去证确界的存在啊。

单调有界定理应该是数列的单调有界必收敛这个定理吧。难道是我很久没摸数分，忘记了。

单调有界定理证下去很简单。证完确界存在，确界就是该数列的极限。这个根据确界的定义和数列的单调性易得。
呵呵