如何用区间套定理证明连续函数的有界性

Question

只要叙述出主要的思路就行了

Answer 1

题设：设f(x)在【a，b】上连续，证明：f(x)在【a，b】一定有界。证明：假设f(x)在【a，b】上无界。【a，b】= [a, (a + b) / 2] + [(a + b) / 2, b]上述两个子区间有【a1, b1】使得f(x)无界。【a1，b1】= [a1, (a1 + b1) / 2] + [(a1 + b1) / 2, b1]上述两个子区间也至少有一个子区间【a2, b2】使得f(x)无界。由将【a2, b2】分成两个相等区间，至少有一个【a3, b3】使得f(x)在其上无界。如此下去得到一串闭区间【an, bn】n = 1,2,3,4...使f(x)在其上无界。易见：...包含于【an, bn】包含于...包含于【a3, b3】包含于【a2, b2】包含于【a1, b1】包含于【a, b】由收敛准则Ⅱ有：lim an(n→∞)和lim bn(n→∞)存在。又bn - an = （b - a）/ 2^n，所以，lim (bn - an) = 0(其中n→∞)，从而推出lim bn = lim an = §(an≤§≤bn，§∈【a，b】)那么由f(x)在【a，b】上连续推出lim f(x)= f(§)(x→§ )取§ = 1，�6�9σ > 0当∣x - §∣< σ时，有f(§) - 1 < f(x) < f(§) + 1。对σ > 0，�6�9N，当n > N时有§ - σ < an < bn < § + σ 所以，当x ∈【an, bn】时，有f(§) - 1 < f(x) < f(§) + 1从而推出f(x)在【an, bn】上有界，这与假设矛盾，假设不成立，所以定理得证。

Answer 2

关于闭区间上连续函数性质的处理的新设想在教材《数学分析简明教程》（邓东皋 尹小玲编著，高等教育出版社）中，闭区间上连续函数的三大性质：介值定理，最大值定理，一致连续性定理，都是在他们需要出现的时候才出现，而且它们的证明都是用实数连续性定理证明的。整个体系可以用下图表示出来。
在教学中，我们也可尝试在单调有界原理之后，引入区间套，再用区间套定理来证明闭区间上连续函数的三大性质。或直接用实数连续性定理证明区间套定理，再用区间套定理证明单调有界原理和闭区间上连续函数的三大性质。即采用如下的体系：
为方便使用我们的教材，下面分别给出用区间套定理推出单调有界原理和闭区间上连续函数的三大性质的证明。单调有界原理 若数列 单调上升有上界，则 必有极限。
证明 用区间套定理。设 是单调上升有上界的数列。若 是 的上界，则 是常值数列，必有极限。不妨设 不是 的上界，记 ，设 是 的一个上界。二等分 ，分点为 ，若 是 的上界，令 ， ，否则，令 ， 。二等分 ，分点为 ，…。如此继续下去，得一区间套 ，满足 ， 不是 的上界， 是 的上界。由区间套定理，存在唯一的实数 。这时有

故， ， ，使得

由 不是 的上界知， ，使得 ，由 单调上升及 是 的上界得，当 时，有

即 。介值定理 若 在 连续， ， ，则存在 ，使得 ．
证明 用区间套定理。记 ，二等分 ，分点为 ，若 ，则定理证完，否则，若 ，则取 ，若 ，则取 ；二等分 ，分点为 ，…。如此继续下去，得一区间套 ，满足 ， ， 。根据区间套定理，知存在唯一的实数 ，这时有 。由 在 连续，知
，
故 ，定理证完。最大值定理 若 在 上连续，则 在 上达到其最大值与最小值。
证明 用区间套定理．二等分 ，分点为 。则 ， 两区间中至少有一区间满足性质：另一区间中的每一个点 ，在这个区间中存在一个点 ，使得 。事实上，不妨设 满足上述性质，则 ， ，使得 。因为若不然， ，使得 ，有 ，即 满足上述性质。
记 ，二等分 ，分点为 ，则 ， 两区间中至少有一区间满足上述性质，将这个区间记为 ；二等分 ，分点为 ，则 ， 两区间中至少有一区间满足上述性质，将这个区间记为 ；…，如此继续下去，得一区间套 ，由区间套定理，存在唯一的实数 。
下证 。 ， ， ，使 ，但 。由区间套的构造， ，使得 。对 ， ，使 ，但 。于是， ，使得 。…，如此继续下去，得一数列 ，满足 ， ，且 。由于 以及 的连续性， ，即 。
一致连续性定理（康托（cantor，1845-1918）定理） 若 在闭区间 上连续，则在 上一致连续。
证明 用区间套定理．用反证法。若不然， 在 上不一致连续，则 ， ， ，有 ，但 。
记 ，三等分 ，分点为 ， 。则在区间 ， 两区间中至少有一区间具有性质（P）：对上述 ， ，在该区间中存在 ，满足 ，但
。
因为若不然，在区间 ， 两区间都不具有上述性质（P），则对上述 ， ， ，只要 ，就有
。
， ，只要 ，就有
。
令 ，则 ，只要 ，就有 同时在 或 中，从而有 。这与最初的假设矛盾。
将 ， 两区间中具有上述性质（P）的区间记为 ，三等分 ，…，如此继续下去，得一区间套 ，满足 ， 具有上述性质（P），由区间套定理，存在唯一的实数 。
由 在点 连续，则 ，当 时，有

由 ，则 ，当 时，有 ，于是 有

这与 具有上述性质（P）矛盾。故 在 上一致连续。最后给出用实数连续性定理证明区间套定理的证明。
区间套定理 设 是一区间套，则存在唯一的实数 。
证明 用实数连续性定理。令 ， ，则 是 的一个分划。事实上 ， ，即 非空；由 的定义， 不漏； ， ，则 ， ，故 ，即 不乱。故 确是 的一个分划。由实数连续性定理，存在唯一的实数 ，使得 ， ，有 。
下证 。因为 ，由 的定义， ，故 。又 ，有 ，则 ，从而 。即 。
最后证明唯一性。若有 满足 ， ，则

故 。即这样的 是唯一的。