可导函数的导函数未必连续，是不是与左右导数存在且相等的条件矛盾？

Question

设f(x)在（a，b）可导，如果f'(x)在（a，b）有间断点，

那么间断点Xo（属于（a，b））的存在

与f（Xo）可导的充要条件 “f（Xo）的左右导数存在且相等” 是不是矛盾了？

ps：关于f(x)在（a，b）可导，而其导函数未必连续这一点我明白，并且诸如分段函数的例子我也知道。

希望能给出详细证明，能有例子最好了 ，先谢谢各位。

Answer 1

函数的导函数未必连续与函数左右导数存在且相等的条件不矛盾的。
函数的左右导数存在且相等是一个极限过程，和该点的导数值并无直接联系，意思就是说对于导函数f‘（x），他在x0点比如说间断，但是其左右极限均存在，也就是说左右极限存在但是不等于此点的函数值，于是根据原函数存在定理，此函数是可积分的，于是原函数是连续的，也是可导的，但是其导函数不连续，左右导数却存在且相等。

Answer 2

可导一定连续，连续不一定可导追问

哥，你这回答文不对题。并且是废话

追答

你的问题
可导函数的导函数未必连续，是不是与左右导数存在且相等的条件矛盾？

你看我回答的对不对题

追问

你回答的是函数的可导与连续问题，我问的是导函数的连续问题 。能一样？

追答

你再看一下
可导函数的导函数未必连续，

这句话本身就是错误的，你再讨论后面的有意义吗？

追问

f(x)=x^2sin1/x，x不为0时。
f(0)=0， x为0时

这个函数的导数在x=0的时候是震荡间断点。

诸如此类函数不胜枚举

追答

如果你这样定义的话，可以根据导数的定义，可以求x=0处的左导数和右导数，并且可以求得他们 是相等的。

追问

那你试试求这个导函数的左右导数。你能求出来或者证明其相等，告诉我。

然后请你这位专家在没有实际证据之前别来回答了。我既然出了100分，你就别总把别人的智商想得和你一样简单。

追答

根据导数的定义
f'(0+)
=lim(x→0+) [f(x)-f(0)]/(x-0)
=lim(x→0+) xsin(1/x)
=0
同理可证f'(0-)=f'(0+)=0

Answer 3

f(x)在Ⅰ可导: 在xо处（xо∈Ⅰ），恒lim(Δx→0+) Δy/Δx = lim(Δx→0﹣) Δy/Δx 即 f'+(xо)=f'-(xо)
不妨设在xо的导数为A。则f'+(xο) = f'-(xο) = A

f'(x)在Ⅰ间断：存在xо
①可以f'(xо)无定义
②也可以f'(xо)存在，但f'(xо)≠f'+(xο)=f'-(xο)=A

换个写法： A (x=xο)
f'(x) = {
f'(x) (x≠xο,x∈Ⅰ)

LZ自己定义的那个函数就是个很好的例子：
函数f(x)： f(x)=x^2sin1/x （x≠0）
f(0)=0 （x=0）

这个函数在(-∞,+∞)可导.
f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x) （x≠0）（x=0无定义，是相对于y=2xsin(1/x)-cos(1/x)这个函数）
f'(x)=lim（x→0）[f(x)-f(0)]/(x-0) = lim（x→0）xsin(1/x)=0. （x=0） （在0可导）