高中数学函数单调性问题

Question

用函数单调性的定义证明:函数f(x)=x^3+x在(负无穷,正无穷)上是增函数 求详细过程

Answer 1

设x1<x2
=x2-x1>0
f(x2)-f(x1) =x2^3+x2-(x1^3+x1)
=x2^3-x1^3+(x2-x1)
=(x2-x1)(x2^2+x1x2+x1^2)+(x2-x1)
=(x2-x1)(x2^2+x1x2+x1^2+1)
=(x2-x1){(x2+1/2 x1)^2+3/4x1^2+1)}
因为(x2-x1)>0, ) (x2+1/2 x1)^2+3/4x1^2+1>0
所以函数f(x)=x^3+x在(负无穷,正无穷)上是增函数

Answer 2

x1<x2
f(x1)-f(x2)=(x1-x2)[(x1+x2/2)^2+3x2^2/4+1]<0
所以为增函数

Answer 3

函数f(x)=x^3，和函数f(x)=x，在(负无穷,正无穷)上都是增函数

Answer 4

当x大于0，f[x]=x^3+x,当x小于0，f[-x]=-x^3-x=-[x^3+x],当x大于0，f[x]随x的增大而增大，当x小于0，f[x]也是，所以f[x]在范围内是增函数

Answer 5

先求导f'(x)=3x∧2+1
因为f'(x)在R上恒大于零，所以f(x)在R上恒增

Answer 6

f(x)=x^3+x,f '(x)=3x^2+1恒大于1自然横大于0，所以f（x）单增