已知函数f(x)的定义域是x不等于0的一切实数，对定义域内任意x1、x2都有f(x1*x2)=f

Question

已知函数f(x)的定义域是x不等于0的一切实数，对定义域内任意x1、x2都有f(x1*x2)=f(x1)+f(x2)且当x>1时f(x)>0,f(2)=1.
(1)求f(1)、f(-1）
(2)求证：f(x)在(0,+∞)上是增函数

Answer 1

（1）令x1=x2=1，得：f(1)=f(1)+f(1)，得：f(1)=0；
令x1=x2=-1，得：f(1)=f(-1)+f(-1)，因为f(1)=0，所以，f(-1)=0；

（2）令0<a<b，则b/a>1
因为x>1时，有f(x)>0
所以：f(b/a)>0
b=(b/a)*a
因为f(x1*x2)=f(x1)+f(x2)
所以：f(b)=f[(b/a)*a]=f(b/a)+f(a)
则：f(b)-f(a)=f(b/a)>0
即0<a<b时，有f(a)<f(b)
所以，f(x)在(0,+∞)上是增函数。

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！