已知Sn是等比数列{an}的前n项和,S3,S9,S6成等差数列,求证a2,a8,a5成等差数列

Question

如题所述

Answer 1

s3=a1(1-q^3)/(1-q) s9=a1(1-q^9)/(1-q) s6=a1(1-q^6)/(1-q) s6-s9=s9-s3,代入得：2q^9=q^3+q^6 即：2q^7=q+q^4 若a2,a8,a5成等差数列 那么a5-a8=a8-a2,a2+a5=2a8 即：a1q+a1q^4=2a1q^7 因为2q^7=q+q^4 所以a2,a8,a5成等差数列

Answer 2

证：
公比q=1时，S3=3a1，S9=9a1，S6=6a1
2S9=18a1 S3+S6=9a1 a1≠0，18a1≠9a1，因此公比q≠1。
2S9=S3+S6
2a1(q^9 -1)/(q-1)=a1(q^3 -1)/(q-1) +a1(q^6 -1)/(q-1)
2(q^9 -1)=q^3 +q^6 -2
2q^9=q³+q^6
q³(2q^6 -q³ -1)=0
q³≠0要等式成立，只有2q^6 -q³ -1=0
2a8-a2-a5
=2a2q^6 -a2 -a2q^3
=a2(2q^6-q^3-1)
=a2×0=0
2a8-a2-a5=0
2a8=a2+a5，a2、a8、a5成等差数列。本回答被网友采纳

Answer 3

S3,
S9,
S6
成等差数列.
s3+s6=2s9
when
q=1,a2,
a8,
a5
成等差数列。
when
q不等于1；
左=a1(1-q^3)/(1-q)+a1(1-q^6)/(1-q)=2a1(1-q^9)/(1-q)
约分得：a1q^3+a1q^6=2a1q^9
两边各约去q^2;
a1q+a1q^4=2a1q^7
即a2+a5=2a8;
所以命题成立

Answer 4

2s9=s3+s6
2a1(1-q^9)/(1-q)=a1(1-q^3)/(1-q)+a1(1-q^6)/(1-q)
2(1-q^9)=(1-q^3)+(1-q^6)
2-2q^9=1-q^3+1-q^6
2q^9=q^3+q^6(同时除q^2)
q^7=q+q^4(同时乘a1)
2a1q^7=a1q+a1q^4
2a8=a2+a5
所a2,a8,a5成等差数列

Answer 5

谢谢