设f'(x0)=f''(x0)=0 f'''(x)>0 为什么(x0,f(x0))是曲线y=f(x)的拐点

如题所述

推荐答案 2012-06-29

拐点在数学上是指改变曲线向上或向下方向的点，直观地说拐点是使切线穿越曲线的点。若该曲线图形的函数在拐点有二次导数，则二次导数必为零或不存在。

而(x0,f(x0))是曲线y=f(x)的拐点的充分条件则是：
在x=x0这一点，f(x)的二阶导数f "(x0)=0，若在x=x0两侧附近f "(x0)异号，则点(x0,f(x0))为曲线的拐点。

现在f '''(x)>0，
即f(x)的三阶导数是大于0的，
因此f(x)的二阶导数是单调递增的，
而在x0这一点，f ''(x0)=0
所以在x>x0时，f ''(x) >0，
而在x<x0时，f ''(x)<0

很显然
在x=x0两侧附近f "(x)是异号的，
故(x0,f(x0))是曲线y=f(x)的拐点

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