什么是正定矩阵?

如题所述

正定矩阵的前提是矩阵应当是对称的,即使A、B都是正定的,AB未必对称,因此谈不上是否正定;若AB可交换,即AB=BA,则AB必为正定矩阵。若题目中的条件换成A、B分别是半正定矩阵,结论也成立。

正定矩阵

正定矩阵是一种实对称矩阵。在线性代数里,正定矩阵 (positive definite matrix) 有时会简称为正定阵。在线性代数中,正定矩阵的性质类似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式(复域中则对应埃尔米特正定双线性形式)。

正定矩阵有以下性质:

(1)正定矩阵的行列式恒为正。

(2)实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同。

(3)若A是正定矩阵,则A的逆矩阵也是正定矩阵。

(4)两个正定矩阵的和是正定矩阵。

(5)正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。

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第1个回答  2023-12-18
正定矩阵是实对称矩阵的一种特殊类型,其特征值都是实数,且都大于0。如果对于一个非零向量X,有X^TAX的值始终大于0,则我们称这个矩阵A为正定矩阵。在线性代数中,正定矩阵(positive definite matrix)有时也被简称为正定阵。特别的,欧氏度量的平方就是一种正定二次型,对应的正定矩阵就是单位阵。
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