正定矩阵的前提是矩阵应当是对称的,即使A、B都是正定的,AB未必对称,因此谈不上是否正定;若AB可交换,即AB=BA,则AB必为正定矩阵。若题目中的条件换成A、B分别是半正定矩阵,结论也成立。
正定矩阵
正定矩阵是一种实对称矩阵。在线性代数里,正定矩阵 (positive definite matrix) 有时会简称为正定阵。在线性代数中,正定矩阵的性质类似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式(复域中则对应埃尔米特正定双线性形式)。
正定矩阵有以下性质:
(1)正定矩阵的行列式恒为正。
(2)实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同。
(3)若A是正定矩阵,则A的逆矩阵也是正定矩阵。
(4)两个正定矩阵的和是正定矩阵。
(5)正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。