定义在R的奇函数,f(0)一定=0吗？ 如果不等于请举例说明~ 当然，如果可以把下题做一下~有加分的啊~

Question

设f(x)是定义在R上的函数，对任意x1，x2∈R，都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2)，且当x＞0时有0＜f(x)＜1．
(1)求证：f(0)=1，且当x＜0时，f(x)＞1；
(2)求证：f(x)在R上递减；
(3)设集合A={(x,y)|f(x2)f(y2)＞f(1)}，B={(x,y)|f(ax-y+2)=1}，若A∩B为空集，求实数a的取值范围．

Answer 1

(1)
假设f(0)=0，则对任意x，都有f(x)=f(x+0)=f(0)f(x)=0，与题意不符，即f(0)不等于0。

取x1=x2=0，则f(0+0)=f(0)=f(0)f(0)，则f(0)不等于0可得，f(0)=1

若x<0，则-x>0，0<f(-x)<1

f(x-x)=f(0)=f(x)f(-x)=1

f(x)=1/f(-x)>1

(2)

设x1<x2，则x1-x2<0、f(x1-x2)>1

f(x1)/f(x2)=f(x1)f(-x2)=f(x1-x2)>1

所以，f(x1)>f(x2)，即f(x)在R上递减。

(3)
f(x^2)f(y^2)=f(x^2+y^2)>f(1)，则x^2+y^2<1

f(ax-y+2)=1，则ax-y+2=0

若A∩B为空集，则直线ax-y+2=0与圆x^2+y^2=1相切或相离。

圆心(0,0)到直线的距离=|2|/√(a^2+1)>=1，则-√3<=a<=√3

定义在R的奇函数一定有f(0)=0

因为f(0)=f(-0)=-f(0)，即2f(0)=0、f(0)=0

.追问

虽然做对了，但是还是没有解释为什么一个在R上的可以f（0）不等于0啊
是这题一个问题，虽然可以证明，但f(0)却不等于0.让我不解！帮帮忙求解释啊~~
哈~~

追答

假设f(0)=0，则对任意x，都有f(x)=f(x+0)=f(0)f(x)=0，与题意不符，即f(0)不等于0。

也就是说，若f(0)=0，则对任何x，都有f(x)=0，这与当x＞0时有0＜f(x)＜1矛盾

追问

是的，我理解但是。。。
但是，在此题的函数是在R，对吧~
同时，定义在R的奇函数一定有f(0)=0
这两句都正确吧~，所以是不是矛盾了啊？

奇函数图象关于原点（0，0）中心对称。

追答

定义在R的奇函数一定有f(0)=0

注意：“奇函数”这个条件。

本题中，没有“奇函数”这个条件，所以可能会有f(0)不等于0

追问

敢情是我题目看错了~哈哈~~尴尬中，懂了。耽误你不少时间，给你点加分

Answer 2

奇函数是在定义域内f(x)=-f(-x).因为该函数的定义域为R，所以f(0)=-f(-0)=-f(0),所以f(0)一定=0
1.当x<0时，0<f(-x)<1.又因为f(0)=f(x+(-x))=f(x)f(-x)=1,所以f(x)>1
2.当x1<x2时,t=x2-x1,t>0所以f(t)<1,f(x2)=f(x1+t)=f(x1)*f(t)<f(x1),所以f(x)在R上递减。
3.因为B={(x,y)|f(ax-y+2)=1}，所以ax-y+2=1----(1)
因为A={(x,y)|f(x2)f(y2)＞f(1)}，所以f(x+y)>f(1),所以x+y<1因为A∩B为空集，所以x+y>=1---(2)
根据（1）（2）即可求出a的取值范围为a>=-1追问

但是这题的第一问，却让你求证f(o)=0，并且你的答案和标答不太一样啊~

追答

。。。我第一句话不算在证明么。。。我这样写，不觉得有道理么=、=你懂就行了，证明的答案又不唯一。

追问

但是，下面那个人做的答案是对的啊~