已知f(x)在x=0的邻域内二阶可导，考研数学可导性求大神解释

Question

已知f(x)在x=0的邻域内二阶可导，且f'(0)=0,又（（1+x）^(1/3)-1）f ‘ ’ (x) - x f ' (x) = e^x - 1,……”解答中把那个已知的式子变下形得到f''(x)的表达式，求出limf''(x)(x->0)=3,然后说“又f '（x）在x=0连续，推出f''(0)=3”。

个人理解：f(x)在x=0的邻域内二阶 只能推出二阶导数在x=0的邻域内有定义 不能说明其连续， 但是上述推导中limf''(x)(x->0)=3,f''(0)=3 说明了二阶导数在X=0点连续，

Answer 1

f(x)在x=0的邻域内二阶可导，那么就必须是f(x)在x=0的邻域内二阶导连续，如果二阶导不连续，要么左右极限不一样，要么在x=0处没有定义。
但这两种情况，导数都不会存在，即不可导。
所以limf''(x)(x->0)=3，即f''(0)=3

Answer 2

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