什么叫矩阵的秩

Question

如题所述

Answer 1

矩阵的秩

矩阵的秩是线性代数中的一个概念。在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数。通常表示为r(A)，rk(A)或rankA。

在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。通俗一点说，

如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。

拓展资料;

变化规律

(1) 转置后秩不变

(2)r(A)<=min(m,n),A是m*n型矩阵

(3)r(kA)=r(A),k不等于0

(4)r(A)=0 <=> A=0

(5)r(A+B)<=r(A)+r(B)

(6)r(AB)<=min(r(A),r(B))

(7)r(A)+r(B)-n<=r(AB)

Answer 2

矩阵的秩
矩阵的秩是反映矩阵固有特性的一个重要概念。

定义1. 在m´n矩阵A中，任意决定k行和k列 (1£k£min{m,n}) 交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。

例如，在阶梯形矩阵 中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式 就是矩阵A的一个2阶子式。

定义2. A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A

的秩，记作rA，或rankA。

特别规定零矩阵的秩为零。

显然rA≤min(m,n) 易得：

若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r<min(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。

由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n，通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵, det(A)¹ 0；不满秩矩阵就是奇异矩阵，det(A)=0。

由行列式的性质1(1.5[4])知，矩阵A的转置AT的秩与A的秩是一样的。

参考资料：http://bk.baidu.com/view/346467.htm

Answer 3

将矩阵做初等行变换后，非零行的个数叫行秩
将其进行初等列变换后，非零列的个数叫列秩
矩阵的秩是方阵经过初等行变换或者列变换后的行秩或列秩本回答被提问者采纳

Answer 4

简单的说，是有用解的向量数。
①比如回答多说：秩是阶梯型矩阵非0行的个数，为什么呢？
因为如果是0行（初等行变换后）,
0X1+0X2+0X3+0X4+0X5+……=0，对解这个方程没有任何帮助，就不能包括在秩里面。（X为未知数，不是乘号）
同样地，为什么秩是极大线性无关组的个数？
因为一旦线性相关，矩阵就可以将相关的一组中的一行通过初等行变换化为0，那就是无用解了。如：
|1 2 3|
|2 4 6|
1X1+2X2+3X3=0
2X1+4X2+6X3=0
你会发现，两个方程其实是一样的，这就是线性相关。
我们也可以通过初等行变换来做
|1 2 3|
|2 4 6|
r2-r1乘2=0，秩为1
②从空间角度来说，秩是矩阵占用的维数，比如我们可以用三元一次方程组解出三个未知数，（三个方程三个未知数）
那么我们称为满秩。
可以理解成三个未知数分别是X轴，y轴，和Z轴，可以组成三维空间。
但如果无用解存在，其实就不再是三个方程，那么就不满秩，这时候会有引入基础解系。
以上内容只讨论齐次线性方程组，并且并不准确，只适用于初学者。

Answer 5

线形代数知识，我也不太好讲，你学过线形代数没！~
给你个概念把，自己慢慢领悟！~
先告诉你矩阵的秩这个概念！~
矩阵的秩:用初等行变换将矩阵A化为阶梯形矩阵,则矩阵中非零行的个数就定义为这个矩阵的秩,记为r（A）。
根据这个定义,矩阵的秩可以通过初等行变换求得。需要注意的是,矩阵的阶梯形并不是唯一的,但是阶梯形中非零行的个数总是一致的。
满秩矩阵:设A是n阶矩阵,若r（A）=n,则称A为满秩矩阵。
满秩矩阵是一个很重要的概念,它是判断一个矩阵是否可逆的充分必要条件。