已知二维随机变量（X,Y）的概率密度为f(x,y)=1,0<x<1,0<y<2x 0,其他 求Z=X+Y的概率密度fz(z)

Question

如题所述

Answer 1

【分析】此题应分两步
1. 首先搞清楚z、x、y与fz(z)的关系。
x、y其实可看作事件，而z =x+y 就是x和y的组合事件
f(x,y) 其实就是事件x和y交集的概率，亦即是概率函数 P(XY)
∴边缘概率密度 fx(X)和fy(Y)，分别表示概率函数 P(X)、P(Y) 。 而fz(z)就是P(X+Y)

2. 搞清上述的关系后就好办了，先用联合概率密度f(x,y)，求出边缘概率密度 fx(X)和fy(Y)，
再代入加法公式 即可求解。加法公式如下：
P(X+Y) = P(X) + P(Y) - P(XY)

【注】不好意思，积分较难打。下面 “∫”前面的(a→b)表示定积分的上下限（a是下限，b是上限）

*****************以下是解题过程*******************
解：由题意，得
当0<x<1时
fx(X) = (-∞→+∞) ∫ f(x,y)dy = (0→2x) ∫ f(x,y)dy = (0→2x) ∫ 1*dy = 2x
当0<y<2x时
fy(Y) = (-∞→+∞) ∫ f(x,y)dx = (0→1) ∫ f(x,y)dx = (0→1) ∫ 1*dx = 1
当x与y不能满足 0<x<1,0<y<2x 时 ， fx(X) = fy(Y) = f(x,y) = 0

而，Z=X+Y
根据概率的加法公式： P(X+Y) = P(X) + P(Y) - P(XY) 可得
①当0<x<1,0<y<2x 时，
fz(z) = fx(X) + fy(Y) - f(x,y) = 2x+1-1 = 2x
①当x与y不能同时满足 0<x<1,0<y<2x 时，
fz(z) = fx(X) + fy(Y) - f(x,y) = 0+0-0 = 0

2x 0<x<1,0<y<2x，z=x+y
综上所述，fz(z) =
0 其他追问

可是正确答案是
fz(Z)=2/3z,0<y<1
=1-z/3,1<=y<3
=0,其他

追答

不好意思，之前没想清楚。我研究过课本和网上一些参考资料了，现在重新解答一次：

【解题思路】
1.先求Z的分布函数F(Z)=∫∫f(x,y)dxdy，重点是确认积分区域D
2.对F(Z)求导，可得概率密度fz(Z)

【解题过程】
解：由题意，f(x,y)=1，而0＜x＜1,0＜y＜2x，Z=X+Y
∴Z的分布函数F(z)=∬f(x, y)dxdy = ∬1*dxdy ， 积分区域为D，F(Z)就是D的面积
画图可知，
①当 z ≤ 0 时， D的面积为零，即 F(Z)=0
②当0＜z＜1时，
积分区域D是直线y=2x、直线y=z-x和x轴围成的图形
F(Z) = (∫0→z/3){【 (∫0→2x)dy】dx } + (∫z/3→z){【 (∫0→z-x)dy】dx }
= (∫0→z/3) (2xdx) + (∫z/3→z) [ (z-x)dx ]
= z²/3

③当1 ≤ z＜3时，
积分区域D是直线y=2x、直线y=z-x 和直线x=1围成的图形
F(Z) = (∫0→z/3){【 (∫0→2x)dy】dx } + (∫z/3→1){【 (∫0→z-x)dy】dx }
= (∫0→z/3) (2xdx) + (∫z/3→1) [ (z-x)dx ]
= - z²/6 + z -1/2

④当 z ≥ 3 时，
积分区域D是直线y=2x、直线x=1和x轴 围成的底为1、高为2的Rt△
∴F(Z)= (1/2)*1*2 =1

对F(Z)求导，得
2z/3 当0＜z＜1时
∴fz(Z) = 1 - z/3 当1 ≤ z＜3时
0 其他

【注】因为积分符号太难打，上面求二重积分的中间过程我省略了，如果有不明白继续问，我再详细跟你说 O(∩_∩)O~

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