如何证明根号下17是无理数?

Question

如题所述

Answer 1

首先明确无理数的概念:无理数，即非有理数之实数，不能写作两整数之比
要直接证明√17是无理数很困难,那就用反证法
证明：
假设√17不是无理数，而是有理数。
既然√17是有理数，它必然可以写成两个整数之比的形式：
√17=p/q
再假设p和q没有公因数可以约，所以可以认为p/q 为最简分数,即最简分数形式。
把 √17=p/q 两边平方
得 17=p^2/q^2
即 17q^2=p^2
由于17q^2是17的倍数，并且17是质数
所以p^2也是17的倍数，所以p也是17的倍数
设p=17m
由 17(q^2)=17^2(m^2)
得 q^2=17m^2
同理q必然也17的倍数，设q=17n
既然p和q都是17的倍数，他们必定有公因数17，
这与前面假设p/q是最简分数矛盾。
这个矛盾是由假设√17是有理数引起的。
因此√17是无理数

Answer 2

假设根号17是有理数，
设根号17=p/q,
其中，p,q是正的自然数且互质。
则p^2=17q^2
所以p^2可以被17整除，
所以p也能被17 整除
设p=17*n(n是正的自然数)
则17q^2=p^2=289n^2
所以q^2=17n^2
这样 q^2也能被17整除，q也能被17整除
因此p与q有公因子17。
这与p,q互质相矛盾
从而 证明了根号17为无理数。

Answer 3

这就是反证法：
假设根号17是有理数，
设根号17=p/q,
其中，p,q是正的自然数且互质。
则p^2=17q^2
所以p^2可以被17整除，
所以p也能被17 整除
设p=17*n(n是正的自然数)
则17q^2=p^2=289n^2
所以q^2=17n^2
这样 q^2也能被17整除，q也能被17整除
因此p与q有公因子17。
这与p,q互质相矛盾

Answer 4

下面的证明方法都很好，都是根据教科书上证明√2是无理数的方法推演而来的，这里我给个不同的证明方法：

假定p是素数，√p 可以做连分数展开，其连分数展开能得到一个循环节。而任意有理数的连分数展开都是有限的，不可能有循环节，故√p是无理数。

下面是Mathematica软件对√17做连分数展开的结果：
ContinuedFraction[Sqrt[17], 6] = {4,8,8,8,8,8} 循环节是8，只有1位
{4,8,8,8,8,8}的连分数，意思就是4 + 1/(8 + 1/(8 + 1/(8 + 1/(8 + 1/8))))
看一下它减去√17的结果：
N[4 + 1/(8 + 1/(8 + 1/(8 + 1/(8 + 1/8)))) - Sqrt[17]] = 9.99059*10^-11
大约10的负10次方。

连分数是一个非常强大的数学工具，学会了，你能解决一大批数学问题呢。

Answer 5

不要鸟这个题目，不要鸟这样的老师。