高数一道不定积分的题目，有答案求过程，多谢

Question

请问图二红圈部分是怎么算出来的

Answer 1

详细过程如图请参考

Answer 2

let
e^x = tanu
e^x dx = (secu)^2 du
dx = [(secu)^2/tanu] du
∫arctan(e^x)/e^x dx
=-∫arctan(e^x) de^(-x)
=-e^(-x).arctan(e^x) + ∫ dx/[1+ e^(2x) ]
=-e^(-x).arctan(e^x) + ∫ [(secu)^2/tanu] du/(secu)^2
=-e^(-x).arctan(e^x) + ∫ cotu du
=-e^(-x).arctan(e^x) + ∫ (cosu/sinu) du
=-e^(-x).arctan(e^x) + ln|sinu| + C
=-e^(-x).arctan(e^x) + ln|e^x/√(1+e^(2x))| + C
=-e^(-x).arctan(e^x) +x - (1/2)ln[1+e^(2x)] + C