一函数在x=0邻域内二阶可导，一阶导在x=0处为0，二阶导在趋近0时为3，怎么证明二阶导在0处等于3？

Question

如题所述

Answer 1

x=0邻域内二阶可导｜的意思就是说，二阶导x=0邻域内连续，那就是二阶导在趋近0时= 二阶导在0的数值 = 3追问

二阶可导无法说明二阶导连续吧，只能说明一阶导连续可导

追答

lim(delta X -> 0) [ F(X + delta X) - F(X)] / delta X = dF(X)/dX

这就是微分导数的定义， 如果 dF(X)/dX 在 x和其 邻域内不连续，即lim(delta X -> 0) [ F(X + delta X) - F(X)] / delta X 在delta X -> 0时，是没有唯一的极限值，那 dF(X)/dX 就是不可微分了，
换句话说，二阶可导 必须是 二阶导连续，如二阶导不连续，要麼左右极限不一样，要麼在x点没定义。但这两种情况，导数都不会存在，即不可导。

追问

二阶可导必须连续等价于可导函数的导函数必连续吧
函数x=0，f(x)=0,x不=0,f(X)=x*x*sin(1/x)就是可导但导函数不连续吧

追答

(a) (二阶可导必须连续) 是不等价于 (b) (可导函数的导函数必连续)
但 (b) 是包含 (a) 的
我同意你的函数是可导但导函数不连续
但跟据函数连续性的定义，
f(x) 在 x= c 时连续, 当且仅当 lim x-> c f(x) = f(c)
你的题目: 二阶导在趋近0时为3，怎么证明二阶导在0处等于3？
其实就是直接等同於证明:
f(x) 的 二阶导在x=0 时是连续的
但如果你的前题: 一函数在x=0邻域内二阶可导，一阶导在x=0处为0 这两个条件无法证明:
f(x) 的 二阶导在x=0 时连续
那这命题是不可证的。
除非你的函数是普通的函，并非你提出作为反证的特殊函数。

追问

是的 在这个题下根本无法证明：f(x)的二阶导在x=0时连续但你最初的回复是x=0邻域内二阶可导｜的意思就是说二阶导x=0邻域内连续，那就是二阶导在趋近0时= 二阶导在0的数值 = 3 这个题不用证明二阶导连续可这样：二阶导在趋近0时为3，说明该函数在0处的二阶左右导数均为3题目已知在0处存在二阶导 根据导数存在必等于左右倒数即可知该函数在0处二阶导为3你第二次回复的最后一句话里必须这词用得有点过，后半句就解释了