是tanx = x+ (1/3)x^3 +....
不同，sinx是：sinx = x-(1/6)x^3+.....
常用泰勒展开式
e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……
ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k + ……(|x|<1)
sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。(-∞
cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+…… (-∞
arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ……(|x|<1)
arccos x = π - ( x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + …… ) (|x|<1)
arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -……(x≤1)
独缺tanx 泰勒展开式。有好事者用sinx/cosx算出 tanx 泰勒展开式的前五项。
tanx=x+x^3/3+(2 x^5)/15+(17 x^7)/315+(62 x^9)/2835+O[x]^11
最后一项是余项,(|x|<π/2).
方法就是多项式的 竖式除法 ，只不过是把低次幂排在前面。
由于这个多项式的竖式除法很繁琐，我只弄了四项，足可帮助理解。
当|x|<π/4时，舍弃余项，误差较小。
当x＝π/4时， tanx=1，无须tanx 泰勒展开式。
当π/41,误差很大。
这种情况要转换思路，令y=π/2-x,用10阶泰勒展开式算出tany，然后 tanx=1/tany
同理，当-π/2，然后 tanx=1/tany
所以， 当x＝π/4时， tanx泰勒展开式误差最大。
10阶五项 tan(π/4)＝0.99917，误差8.3/10000
6阶三项 tan(π/4)＝0.9867，误差 >1%
直接用sinx,cosx的泰勒展开式相除，分别取前三项
sin(π/4)=0.707143, cos(π/4)=0.707429, sin(π/4)/ cos(π/4)=0.999595, 误差约4/10000
对比可知，五项tanx的泰勒展开式比三项sinx/cosx的泰勒展开式误差还大，
并且π/4
所以 tanx泰勒展开式不常用。
不过，当 |x|<π/6时，tanx的泰勒展开式的误差还算小 ，可用。
扩展资料
1、展开三角函数y=sinx和y=cosx。
解：根据导数表得：f(x)=sinx,f'(x)=cosx,f''(x)=-sinx,f'''(x)=-cosx,f⑷（x)=sinx……
于是得出了周期规律。分别算出f(0)=0，f'(0)=1,f''(x)=0,f'''(0)=-1,f⑷=0……
最后可得：sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+x^9/9!-……（这里就写成无穷级数的形式了。）
类似地，可以展开y=cosx。
2、计算近似值e=lim x→∞ （1+1/x)^x。
解：对指数函数y=e^x运用麦克劳林展开式并舍弃余项：
e^x≈1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!
当x=1时，e≈1+1+1/2!+1/3!+……+1/n!
取n=10，即可算出近似值e≈2.7182818。
3、欧拉公式：e^ix=cosx+isinx（i为-1的开方，即一个虚数单位）
证明：这个公式把复数写为了幂指数形式，其实它也是由麦克劳林展开式确切地说是麦克劳林级数证明的。过程具体不写了，就把思路讲一下：先展开指数函数e^z，然后把各项中的z写成ix。
由于i的幂周期性，可已把系数中含有土i的项用乘法分配律写在一起，剩余的项写在一起，刚好是cosx,sinx的展开式。然后让sinx乘上提出的i，即可导出欧拉公式。有兴趣的话可自行证明一下。
参考资料：泰勒公式的百度百科
如何用泰勒公式求极限值？
在数学的广阔领域中，极限是一个至关重要的概念，在许多分支如微积分、实分析等都有着举足轻重的地位。而在解决涉及极限问题的过程中，泰勒公式无疑是一种极为强大且实用的工具。
首先，我们需要明确什么是泰勒公式以及其基本原理。泰勒公式是表达式函数的一种近似方法，它以给定点为中心展开成无穷级数的形式。具体而言，若一函数在其某点a处具有n阶导数值，则该函数可以表示为一个关于（x-a）的多项式的叠加，即泰勒公式。换言之，我们将一个复杂的函数通过逼近的方式转化为一个多项式来进行研究，大大简化了计算过程。
接下来让我们进一步阐述如何利用泰勒公式来求解极限问题。通常情况下，我们遇到的极限问题是寻求某个变量趋于某一特定值时，原表达式的极限值是多少。此时我们可以考虑使用泰勒公式对原表达式进行近似替换，即将原表达式中的部分或全部项替换为其对应的泰勒展开式，并通过对新表达式的运算得出结果。
为了更好地理解这一概念，下面我们以具体的例子来进行说明：
例：试求当x趋近于0时，sin(x)/x的极限值。
解析：根据泰勒公式的相关知识我们知道，对于任意正整数n，有 sin(x) = Σ (-1)^k * (x^(2k+1)) / (2k+1)! ，其中Σ表示求和符号，k取自0到n。于是我们先将sin(x)用它的泰勒公式展开式代入原表达式得到：
sin(x) / x = [Σ (-1)^k * (x^(2k+1)) / (2k+1)!] / x
接着继续化简上述表达式，因为题目要求的是x趋向于0的情况，所以除以x之后，只有当指数为奇数的时候才会留下非零项；并且由于分母都是大于等于1的正整数，因此可以直接忽略掉所有偶数项。这样我们就得到了一个新的表达式：
sin(x) / x ≈ Σ (-1)^(k) * ((x^(2k-1)) / (2k-1)!) （其中k取奇数）
最后再结合几何级数的知识可知，当x→0时，上式的结果应当为1/2π。这就完成了我们的证明过程。
综上所述，借助泰勒公式展开法不失为一种高效快捷地解决极限问题的有效手段。当然值得注意的是，这种方法并非万能钥匙，在面对某些特殊类型的极