高数题，求详解！谢谢~

Question

求详解，谢谢！~~

Answer 1

显然x的积分区域是0到√y，
而y的范围是从0到1，
实际上积分区域就是抛物线y=x²在区间[0，1]上与y轴围成的区域

画出这个积分区域，更换x和y的积分次序，
那么y的积分区间是x²到1，
x的积分区间是0到1

所以
∫ (上限1,下限0) dy ∫(上限√y,下限0) e^y f(x)dx
= ∫ (上限1,下限0) f(x) dx * ∫(上限1,下限x²) e^y dy

显然
∫(上限1,下限x²) e^y dy
= e^y (代入上限1,下限x²)
=e -e^(x²)

故原积分
=∫ (上限1,下限0) f(x) dx * ∫(上限1,下限x²) e^y dy
=∫ (上限1,下限0) [e -e^(x²)] * f(x) dx

所以问题得到了证明