f(x)在X0处二阶可导，证lim(h->0)[ f(x-h0)+f(x0+h)-2f(x0)]/h^2=f``(x0) 为什么不能这么做？

Question

原式=lim(h->0)[f(x0+h)-f(x0)]/h^2 — lim(h->0)[f(x0)-f(x0-h)]/h^2=f'(x)/h-f'(x)/h=0

Answer 1

极限是不能随便的写成2个极限和或差的，比如最简单的 (tanx - sinx) / x^3 = 1/2 这个极限如果写成2个极限差就得到0-0=0的错误答案，这样直接分成2个之差会直接导致高阶无穷小的丢失而造成结果的错误。
这一个可以用f(x)在x0处的泰勒展开式
f(x0+h) = f(x0) + f'(x0) h + f''(x0) h^2/2 + ...
f(x0-h) = f(x0) - f(x0) h + f''(x0) h^2 / 2 + ....
所以f(x0+h) + f(x0-h) - 2f(x0) = f''(x0) h^2 + O(h^3)
所以[ f(x-h0)+f(x0+h)-2f(x0)]/h^2 = ( f''(x0) h^2 + O(h^3) ) / h^2 = f'' (x0)

Answer 2

题目应是：f(x)在X0处二阶可导，证lim(h->0)[ f(x0-h)+f(x0+h)-2f(x0)]/h^2=f ''(x0)

所给解答问题是：当h->0时，lim(h->0)[f(x0+h)-f(x0)]/h^2 — lim(h->0)[f(x0)-f(x0-h)]/h^2这两个极限都不一定存在；
此外，当h->0时，极限的结果中已无h，怎会还有f'(x)/h-f'(x)/h。

证明：f(x)在X0处二阶可导，则f(x)在x0处及某邻域内连续，在x0处及某邻域内一阶可导,
显然lim(h->0)[ f(x0-h)+f(x0+h)-2f(x0)]=0，lim(h->0)h^2=0.
由洛必达法则，lim(h->0)[ f(x0-h)+f(x0+h)-2f(x0)]/h^2=lim(h->0)[ -f ‘(x0-h)+f '(x0+h)]/(2h)
因为f(x)在X0处二阶可导，由导数定义，
所以lim(h->0)[ -f ‘(x0-h)+f '(x0+h)]/(2h)
= lim(h->0)[ -f ‘(x0-h)+f '(x0+h)-f(x0)+f(x0)]/(2h)
=(1/2) lim(h->0)[ -f ‘(x0-h)+f '(x0+h)-f(x0)+f(x0)]/h
=(1/2) lim(h->0)[ -f ‘(x0-h))+f(x0)+f '(x0+h)-f(x0)]/h
=(1/2) lim(h->0){ [ f ‘(x0-h))-f(x0)]/(-h)+[f '(x0+h)-f(x0)]/h }
=(1/2) {f ''(x0)+f ''(x0)}
= f ''(x0)
综上所述，
于是lim(h->0)[ f(x0-h)+f(x0+h)-2f(x0)]/h^2=f ''(x0)